Солнечные сутки

Для наблюдателя на экваторе планеты в полдень Солнце находится в зените.

Поместим начало координат в центр Солнца и введём единичные векторы \(\vec{n}_1\) (от Солнца к планете) и \(\vec{n}_2\) (от центра планеты к точке на экваторе, которая участвует в осевом вращении). В момент полудня \(\vec{n}_1\) и \(\vec{n}_2\) направлены противоположно. Ось \(x\) направим вдоль \(\vec{n}_1\), ось \(y\) — в сторону орбитального движения. За время \(t\) векторы повернутся на углы \(\alpha = \omega_1 t\) и \(\beta = \omega_2 t\), где \(\omega_1 = \dfrac{2\pi}{T_1}\), \(\omega_2 = \dfrac{2\pi}{T_2}\). Координаты векторов: \[\vec{n}_1 = (\cos\alpha,\ \sin\alpha), \qquad \vec{n}_2 = (-\cos\beta,\ -\sin\beta).\] Следующий полдень наступит, когда векторы снова окажутся противоположны, то есть \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = -1\). Отсюда \(\cos(\alpha - \beta) = 1\), и \(\alpha - \beta = 2\pi n\), то есть \[t\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) = n .\] Наименьшее положительное \(t\) даёт \(n = \pm 1\), поэтому \[T = \frac{T_1 T_2}{|T_1 - T_2|} = 293~\text{сут} .\] Количества оборотов равны \(N_1 = \dfrac{T}{T_1} = \dfrac{T_2}{|T_1 - T_2|} = 2{,}7\) и \(N_2 = \dfrac{T}{T_2} = \dfrac{T_1}{|T_1 - T_2|} = 3{,}7\). Разность \(N_2 - N_1\) равна единице.