Обруч-блок с грузом

Мгновенные скорости точек обруча на концах горизонтального диаметра связаны со скоростями оси и груза условием отсутствия проскальзывания нити. Для энергии используйте баланс работы силы \(F\).

1. Пусть \(V_1\) и \(V_2\) — скорости оси блока и груза, \(\omega\) — угловая скорость блока, \(r\) — его радиус. Точка \(B\) блока касается левого участка нити, скорость которого равна нулю, поэтому \(V_B = V_1 - \omega r = 0\). Точка \(C\) касается правого участка, скорость которого равна \(V_2\): \(V_C = V_1 + \omega r = V_2\). Отсюда \(V_2 = 2V_1\) и \(a_2 = 2a_1\).

2. Кинетическая энергия обруча массы \(m_1\), катящегося по нерастяжимому участку нити \(AB\) без проскальзывания, равна \(m_1 V_1^2\). Энергия системы \[E = (m_1 + 2m_2)V_1^2 + m_1 g h_1 + m_2 g h_2 .\] 3. Баланс энергии за малое время \(\Delta t\): \(\Delta E = F V_1 \Delta t\) (работа силы на оси; сила со стороны пола в точке \(A\) работы не совершает, работа сил трения покоя между блоком и нитью равна нулю). Приращения: \(\Delta(V_1^2) = 2V_1 \Delta V_1\), \(\Delta h_1 = V_1 \Delta t\), \(\Delta h_2 = 2V_1 \Delta t\). Тогда \[\Delta E = (m_1 + 2m_2)(2a_1 + g)V_1 \Delta t .\] Отсюда \[a_1 = \frac{F}{2(m_1 + 2m_2)} - \frac{g}{2} = 0{,}5~\text{м/с}^2, \qquad a_2 = 2a_1 = 1~\text{м/с}^2 .\] 4. Для системы «блок и верхний участок нити»: \(m_1 a_1 = F - m_1 g - T_1 - T_2\). Для груза: \(m_2 a_2 = T_2 - m_2 g\). Получаем \[T_1 = \frac{F - m_1 g}{2}, \qquad T_2 = \frac{F m_2}{m_1 + 2m_2}, \qquad \Delta T = T_1 - T_2 = m_1 a_1 .\] Отсюда \[x = \frac{\Delta T}{T_1} = \frac{2m_1 a_1}{F - m_1 g} = 0{,}03 .\]