Шар в сферическом слое с диэлектриком

Поле внутри диэлектрика можно представить как поле двух сфер с зарядами \(q_1\) и \(-Q\) в вакууме; заряд слоя найдите из условия отсутствия поля внутри металла.

1. Пусть \(q_1\) — заряд шара, \(q_2\) — заряд внешней поверхности слоя, \(q_3\) — заряд его внутренней поверхности, \(Q\) — заряд внешней границы диэлектрика. Тогда заряд внутренней границы диэлектрика равен \(-Q\). В точке \(A\) диэлектрика поле равно \(E_A = \dfrac{k q_1}{\varepsilon r_A^2}\), \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). Заменим диэлектрик двумя сферами с зарядами \(-Q\) (радиус \(R\)) и \(Q\) (радиус \(2R\)) в вакууме: \(E_A = \dfrac{k(q_1 - Q)}{r_A^2}\). Приравнивая, получаем \(q_1 - Q = \dfrac{q_1}{\varepsilon}\), то есть \(Q = \dfrac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}\,q_1\) и \(x_1 = 0{,}6\).

2. Поле в точке \(B\) металлического слоя равно нулю, откуда \(q_1 + q_3 = 0\), то есть \(q_3 = -q_1\). Потенциалы шара и слоя: \[\varphi_1 = \frac{k}{2R}\left(\frac{q_1}{\varepsilon} + \frac{q_2}{2}\right) = V_1, \qquad \varphi_2 = \frac{k q_2}{4R} = V_2 .\] Отсюда \(q_2 = \dfrac{4RV_2}{k}\) и \(q_1 = \dfrac{2R\varepsilon(V_1 - V_2)}{k}\), так что \[x_2 = \frac{q_2}{q_1} = \frac{2V_2}{\varepsilon(V_1 - V_2)} = -1{,}6 .\] Поскольку \(V_1 - V_2 < 0\), заряд шара \(q_1\) отрицателен, хотя шар присоединён к положительному полюсу батареи \(V_1\).