Три цилиндра

Сравните моменты инерции трёх цилиндров одинаковой массы: жидкость в третьем цилиндре без трения не вращается, так что вращается только оболочка. Без проскальзывания сила трения покоя не должна превышать \(\mu N\); при проскальзывании сила трения равна \(\mu N\), и она же задаёт угловое ускорение.

Моменты инерции трёх цилиндров: \[I_1 = \frac12\rho_1\pi\left(R^4 - r^4\right)h, \quad I_2 = \frac12\rho_2\pi R^4 h = \frac12 mR^2, \quad I_3 = \frac12\rho_2\pi\left(R^4 - r^4\right)h. \tag{1}\] Так как массы трёх цилиндров одинаковы, \[m = \rho_1\pi\left(R^2 - r^2\right)h = \rho_2\pi R^2 h, \tag{2}\] получаем \[r^2 = R^2\left(1 - \frac{\rho_2}{\rho_1}\right) = R^2\left(1 - \frac1n\right), \quad n = \frac{\rho_1}{\rho_2}. \tag{3}\] Моменты инерции можно записать в виде \[I_1 = I_2\left(2 - \frac1n\right) > I_2, \quad I_3 = I_2\left(2 - \frac1n\right)\cdot\frac1n = \frac{I_1}{n}. \tag{4}\] В выражении для момента инерции \(I_3\) сумма двух множителей постоянна: \[\left(2 - \frac1n\right) + \frac1n = 2\] и не зависит от \(n\), поэтому их произведение максимально, когда множители равны: \(2 - \dfrac1n = \dfrac1n\); отсюда \(n = 1\), и произведение \(\left(2 - \dfrac1n\right)\cdot\dfrac1n = 1\). На самом деле \(n > 1\), так что произведение меньше 1. Получаем \[I_1 > I_2 > I_3. \tag{5}\] Для цилиндра, свободно скатывающегося по наклонной плоскости (рис. 1.1), можно записать уравнения \[mg\sin\alpha - F_f = ma, \tag{6}\] \[N - mg\cos\alpha = 0,\] \[F_f R = I\varepsilon, \tag{7}\] где \(\varepsilon\) — угловое ускорение. Если цилиндр не проскальзывает, выполняется условие \[a = \varepsilon R. \tag{8}\] Решая систему уравнений (6)–(8), находим \[a = \frac{g\sin\alpha}{1 + \dfrac{I}{mR^2}}, \quad F_f = \frac{mg\sin\alpha}{1 + \dfrac{mR^2}{I}}. \tag{9}\] Условие отсутствия проскальзывания: \[F_f < \mu N = \mu mg\sin\alpha,\]

\[\operatorname{tg}\alpha < \mu\left(1 + \frac{mR^2}{I_1}\right). \tag{10}\]

Для цилиндров этой задачи условие, при котором ни один из них не проскальзывает, получается для наибольшего \(I\): \[\operatorname{tg}\alpha < \mu\left(1 + \frac{mR^2}{I_1}\right) = \mu\,\frac{4n-1}{2n-1}. \tag{11}\] Ускорения цилиндров: \[a_1 = \frac{2g\sin\alpha}{3 + \left(1 - \dfrac1n\right)}, \quad a_2 = \frac{2g\sin\alpha}{3}, \quad a_3 = \frac{2g\sin\alpha}{3 - \left(1 - \dfrac1n\right)^2}. \tag{12}\] Соотношение между ускорениями: \[a_1 < a_2 < a_3. \tag{13}\] В случае, когда все три цилиндра проскальзывают, \[F_f = \mu N = \mu mg\cos\alpha, \tag{14}\] и из (7) получаем \[\varepsilon = \frac{R}{I}\,\mu mg\cos\alpha. \tag{15}\] Для цилиндров этой задачи \[\varepsilon_1 : \varepsilon_2 : \varepsilon_3 = \frac{1}{I_1} : \frac{1}{I_2} : \frac{1}{I_3} = 1 : \left(1 - \frac1n\right) : n,\] \[\varepsilon_1 < \varepsilon_2 < \varepsilon_3. \tag{16}\] В случае, когда один из цилиндров проскальзывает, \[mg\sin\alpha - F_f = ma, \quad F_f = \mu mg\cos\alpha, \tag{17}\] \[a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha). \tag{18}\] Пусть \(\vec F\) — полная сила, действующая на массу жидкости \(m_l\) внутри цилиндра (рис. 1.2). Можно записать \[F_x + m_l g\sin\alpha = m_l a = m_l g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha), \quad F_y - m_l g\cos\alpha = 0, \tag{19}\] \[F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = m_l g\cos\alpha\cdot\sqrt{1 + \mu^2} = m_l g\,\frac{\cos\alpha}{\cos\phi}, \tag{20}\] где \(\phi\) — угол трения (\(\operatorname{tg}\phi = \mu\)).