Паром на тросе

Уравнение движения парома для произвольного момента времени имеет вид: \[ma = F - kv^2,\] где \(F\) — сила натяжения троса, \(k\) — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления воды и скорости \(v\) парома. Пусть в момент \(t_1\) ускорение парома равно \(a_1\), его скорость равна \(v_1\), а сила натяжения троса равна \(F_{\max}\). Уравнение движения парома для этого момента времени: \[ma_1 = F_{\max} - kv_1^2.\qquad (1)\] После того, как сила натяжения троса в течение длительного времени будет оставаться постоянной (\(F = F_{\max}\)), ускорение парома будет стремиться к нулю, его скорость — к некоторому значению \(v_2\). Движение парома в этом случае описывается уравнением: \[F_{\max} - kv_2^2 = 0.\qquad (2)\] Решая уравнения (1) и (2), находим максимальную силу натяжения троса: \[F_{\max} = \dfrac{ma_1}{1 - (v_1/v_2)^2}.\] Поскольку \(v_1 = \displaystyle\int_0^{t_1}a(t)\,dt = S_1\) (площадь кривой \(a(t)\) при \(0 \le t \le t_0\), где \(t_0 = 2\) с — момент времени, когда \(a = a_{\max}\)), а \(v_2 = \displaystyle\int_0^{\infty}a(t)\,dt \approx S_2\) (полная площадь под кривой \(a(t)\)), то \[F_{\max} = \dfrac{ma_1}{1 - (S_1/S_2)^2} \approx 5{,}5\cdot10^3\text{ Н}.\] Значения \(S_1\) и \(S_2\) определяются по графику зависимости \(a(t)\) (рис. 10.11 на с. 67) путем численного интегрирования.