Равнозамедленное движение в неоднородной среде

Так как тело движется вдоль оси \(x\), то его ускорение, в соответствии со вторым законом Ньютона, равно \[a_x = \dfrac{f_x}{m} = -\dfrac{\alpha(x)}{m}v^2.\] Из условия задачи следует, что тело, пущенное в начальный момент времени из начала координат с начальной скоростью \(v_0\), движется равнозамедленно. Обозначим ускорение тела \(a_x\) при данных начальных условиях через \(-a = \text{const}\). Координата тела \(x\) и его скорость \(v\) зависят от времени \(t\) следующим образом: \[x = v_0t - \dfrac{at^2}{2},\quad v = v_0 - at.\] Отсюда, с учётом предыдущей формулы, имеем: \[a = \dfrac{\alpha(x)}{m}(v_0 - at)^2.\] Поэтому \[\alpha(x) = \dfrac{ma}{(v_0 - at)^2} = \dfrac{m}{\dfrac{v_0^2}{a} - 2v_0t + at^2} = \dfrac{m}{2\left(\dfrac{v_0^2}{2a} - x\right)}.\] Таким образом, тело, пущенное из начала координат со скоростью \(v_0\), может двигаться равнозамедленно только тогда, когда зависимость \(\alpha(x)\) имеет вид: \[\alpha(x) = \dfrac{m}{2(X - x)},\] где \(X = \dfrac{v_0^2}{2a}\) — некоторое положительное число.

Отметим, что \(X\) имеет смысл расстояния, которое проходит тело от начала координат до полной остановки, и зависит только от свойств среды. При этом последнюю формулу следует понимать в том смысле, что тело, пущенное с некоторой скоростью \(v_0\), движется с ускорением \(a = v_0^2/(2X)\), которое определяется начальной скоростью и свойствами среды.

Нас не должно удивлять наличие в выражении для \(\alpha(x)\) массы тела \(m\). При другой массе \(m'\), но тех же размерах, форме и начальной скорости тела его движение в среде с зависимостью \(\alpha(x)\), соответствующей массе \(m\), уже не будет равнозамедленным!