Гимнаст падает на сетку

Пусть сетка, закреплённая на обруче радиусом \(R\), состоит из \(N\) радиальных нитей, а жёсткость каждой из них равна \(k\). При смещении центра сетки вниз на расстояние \(\Delta x \ll R\) сила упругости \(F\), действующая со стороны сетки на находящегося в её центре гимнаста, в силу центральной симметрии направлена вертикально вверх (см. рис. 1.123) и равна \[F = NF_1\sin\alpha \approx NF_1\dfrac{\Delta x}{R} = Nk\left(\sqrt{R^2 + (\Delta x)^2} - R\right)\dfrac{\Delta x}{R} =\] \[= Nk\left(\left(1 + \left(\dfrac{\Delta x}{R}\right)^2\right)^{1/2} - 1\right)\Delta x \approx \dfrac{Nk(\Delta x)^3}{2R^2}\] (для преобразования квадратного корня использована формула, приведённая в условии задачи). Здесь \(F_1\) — сила упругости, действующая на гимнаста со стороны каждой из нитей.

Из условия известно, что когда гимнаст лежит в центре сетки неподвижно, она прогибается на величину \(l\). При этом действующая на гимнаста сила тяжести \(mg\) уравновешивается силой \(F\). Значит, условие равновесия гимнаста имеет вид: \[mg = \dfrac{Nkl^3}{2R^2}.\] Рассмотрим далее падение гимнаста с высоты \(H\). В момент времени перед падением его потенциальная энергия (относительно уровня ненатянутой сетки) была равна \(mgH\). В момент же максимального прогиба сетки она складывалась из энергии в поле силы тяжести \(-mgL\) (она отрицательна) и энергии упругой деформации сетки, которая равна \[E_{\text{деф.}} = \dfrac{Nk}{2}\left(\sqrt{R^2 + L^2} - R\right)^2 =\] \[= \dfrac{NkR^2}{2}\left(\left(1 + \left(\dfrac{L}{R}\right)^2\right)^{1/2} - 1\right)^2 \approx \dfrac{NkL^4}{8R^2}.\] С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем: \(mgH = -mgL + \dfrac{NkL^4}{8R^2}\). Отсюда, используя записанное ранее условие равновесия, окончательно находим искомую высоту: \[H = \left(\dfrac{L^3}{4l^3} - 1\right)L.\]