Квадратная пластинка на четырёх нитях

Введём прямоугольную систему координат с началом в одном из углов пластинки и направим координатные оси \(X\) и \(Y\) вдоль её сторон. Нарисуем вид пластинки сверху (см. рис. 1.181.1) и обозначим через \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\) и \(N_4\) силы натяжения нитей, \(L\) — длину стороны пластинки, \(m\) — массу груза.

Пусть груз находится в точке с координатами \((x, y)\). Запишем условия равновесия пластинки. Первое уравнение представляет собой условие равенства нулю суммы всех сил, действующих на пластинку: \[N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = mg.\qquad(1)\] Далее, сумма моментов всех сил относительно осей, параллельных осям координат и проходящих через точку, в которой находится груз, также должна быть равна нулю. Отсюда имеем ещё два уравнения: \[(N_1 + N_4)y = (N_2 + N_3)(L - y),\qquad(2)\] \[(N_1 + N_2)x = (N_3 + N_4)(L - x).\qquad(3)\] Полученная система уравнений неполна. Для того, чтобы получить ещё одно уравнение, нужно найти, как связаны друг с другом величины малых деформаций нитей, возникших после того, как на пластинку положили тело. Пусть первая нить деформировалась на величину \(\Delta l_1\), а три остальные — на величины \(\Delta l_2\), \(\Delta l_3\) и \(\Delta l_4\) соответственно. Тогда центр пластинки сместился на некоторую величину \(h\), которая равна \[h = \dfrac{1}{2}(\Delta l_1 + \Delta l_3) = \dfrac{1}{2}(\Delta l_2 + \Delta l_4).\] Поскольку \(N_i \sim \Delta l_i\) и все нити одинаковы, то из последнего соотношения получаем недостающее уравнение: \[N_1 + N_3 = N_2 + N_4.\qquad(4)\] Решим полученную систему. Из уравнений (1) и (4) следует, что \[N_1 + N_3 = N_2 + N_4 = \dfrac{mg}{2}.\qquad(5)\] Преобразовывая уравнения (2) и (3) с учётом (1), получаем: \[(N_1 + N_2 + N_3 + N_4)y = mgy = (N_2 + N_3)L,\] \[(N_1 + N_2 + N_3 + N_4)x = mgx = (N_3 + N_4)L.\] Складывая их, с учётом (5) имеем \[mg(x + y) = (N_2 + 2N_3 + N_4)L = \left(\dfrac{mg}{2} + 2N_3\right)L,\] откуда \[N_3 = \dfrac{mg}{2}\left(\dfrac{x + y}{L} - \dfrac{1}{2}\right).\] Так как по условию все нити натянуты, то \(N_3 > 0\), то есть \(y > \dfrac{L}{2} - x\). Область пластинки, удовлетворяющая этому условию, изображена на рисунке 1.181.2.

Таким образом, для того, чтобы третья нить была натянута, груз должен лежать в заштрихованной части пластинки. Поскольку все нити одинаковы и пластинка квадратная, то из соображений симметрии следует, что область, в которую можно положить точечный груз для того, чтобы все нити были натянуты, представляет собой квадрат с вершинами, находящимися в серединах сторон пластинки (заштрихован на рисунке 1.181.3).