Скорость всплытия шарика

При движении шарика в жидкости на него действуют сила тяжести \(F_{\text{т}}\), направленная вниз, сила Архимеда \(F_{\text{А}}\), направленная вверх, и сила вязкого трения \(F_{\text{тр}}\), зависящая, как это следует из условия задачи, от скорости и от диаметра шарика. Две первые силы являются объёмными. Это значит, что их разность пропорциональна разности \(\rho - \rho_{\text{ж}}\) (\(\rho\) — плотность шарика) и объёму шарика, то есть кубу его диаметра \(d\): \[|F_{\text{т}} - F_{\text{А}}| = A|\rho - \rho_{\text{ж}}|d^3.\] Здесь \(A\) — коэффициент пропорциональности. Предположим, что сила вязкого трения зависит от диаметра шарика \(d\) и его скорости \(v\) следующим образом: \(F_{\text{тр}} = Bd^nv^m\), где \(B\) — коэффициент пропорциональности, \(n\) и \(m\) — неизвестные показатели степени. При движении с постоянной скоростью разность сил тяжести и Архимеда равна по величине силе вязкого трения. Тогда для пузырька диаметром \(d_1\) имеем: \[A\rho_{\text{ж}}d_1^3 = Bd_1^nv_1^m,\quad\text{откуда}\quad v_1 = \sqrt[m]{\dfrac{A}{B}\rho_{\text{ж}}d_1^{3-n}}.\] Аналогично, с учётом условия задачи для пузырька диаметром \(d_2\) получаем \[v_2 = \sqrt[m]{\dfrac{A}{B}\rho_{\text{ж}}(2d_1)^{3-n}} = 4v_1 = 4\sqrt[m]{\dfrac{A}{B}\rho_{\text{ж}}d_1^{3-n}},\] откуда следует уравнение \[2^{(3-n)/m} = 2^2,\quad\text{или}\quad 3 - n = 2m.\] Далее, для дробинки диаметром \(d_2\), учитывая, что \(v_3 = 4v_2\) и \(\rho_{\text{д}} = 5\rho_{\text{ж}}\), получаем \[v_3 = \sqrt[m]{\dfrac{A}{B}(\rho_{\text{д}} - \rho_{\text{ж}})d_2^{3-n}} = \sqrt[m]{\dfrac{A}{B}\cdot4\rho_{\text{ж}}d_2^{3-n}} = 4\sqrt[m]{\dfrac{A}{B}\rho_{\text{ж}}d_2^{3-n}},\] откуда находим, что \(m = 1\). Зная \(m\), определяем, что и \(n = 1\). Значит, зависимость \(F_{\text{тр}}(d, v)\) имеет следующий вид: \(F_{\text{тр}} = Bdv\).

Теперь можно найти скорость \(u\), с которой будет всплывать пластмассовый шарик. Учитывая, что его плотность равна \(\dfrac{2}{3}\rho_{\text{ж}}\), получаем: \[u = \dfrac{A}{B}\left(\rho_{\text{ж}} - \dfrac{2}{3}\rho_{\text{ж}}\right)\cdot(3d_1)^2 = 3\dfrac{A}{B}\rho_{\text{ж}}d_1^2 = 3v_1 = 1{,}5\text{ см/с}.\]