Максимальное количество теплоты при нагревании газа

Нарисуем \(pV\)-диаграмму и обозначим состояния с температурами \(T_1\) и \(T_2\) точками «1» и «2» соответственно (см. рис. 2.56). Проведём через эти точки изотермы и адиабаты и обозначим точки их пересечения «3» и «4».

Из условия задачи следует, что процесс \(1 \to 2\), в течение которого температура не убывает, а тепло не отводится от газа, возможен. Это означает, что точка 2 лежит справа от адиабаты, проходящей через точку 1. При этом график произвольного процесса \(1 \to 2\), для которого, однако, выполняются условия задачи, лежит внутри цикла \(1 \to 3 \to 2 \to 4 \to 1\).

Обозначим через \(Q_{12}\), \(Q_{132}\) и \(Q_{142}\) количества теплоты, сообщаемые газу в процессах \(1 \to 2\), \(1 \to 3 \to 2\) и \(1 \to 4 \to 2\) соответственно. Рассмотрим процесс \(1 \to 3 \to 2 \to 1\). В нём газ сначала получает тепло \(Q_{132}\), потом отдаёт тепло \(Q_{12}\), совершая при этом работу \(Q_{132} - Q_{12}\), которая равна площади фигуры, ограниченной на диаграмме линиями «1–3», «3–2» и «2–1». Так как эта площадь неотрицательна, то \(Q_{132} \geqslant Q_{12}\).

Рассмотрим аналогичным образом процесс \(1 \to 2 \to 4 \to 1\). Работа, которую совершает газ в этом процессе, также неотрицательна и равна \(Q_{12} - Q_{142}\), откуда \(Q_{12} \geqslant Q_{142}\).

Из полученных неравенств имеем: \[Q_{142} \leqslant Q_{12} \leqslant Q_{132}.\] Поскольку процесс \(1 \to 2\) — произвольный (из числа удовлетворяющих условию задачи), то из данного неравенства следует, что минимальное количество теплоты \(Q_1\), которое может передаваться газу в таком процессе, равно \(Q_{142}\). Максимальное же количество теплоты \(Q_2\), которое может передаваться газу в данном процессе, из тех же соображений равно \(Q_{132}\).

Таким образом, для того, чтобы получить ответ задачи, нужно рассмотреть цикл Карно \(1 \to 3 \to 2 \to 4 \to 1\). Его КПД равен \[\eta = 1 - \dfrac{Q_{142}}{Q_{132}} = 1 - \dfrac{T_1}{T_2},\] откуда, с учётом того, что \(Q_{142} = Q_1\) и \(Q_{132} = Q_2\), находим: \[Q_{\max} = Q_2 = \dfrac{T_2}{T_1}Q_1.\]