Полуокружность на диаграмме pV

Суммарное количество тепла, полученное и отданное газом, может быть найдено из первого начала термодинамики: \(\Delta Q = \Delta U + \Delta A\). Обозначим через \(\nu\) число молей газа, изменение его температуры за время процесса — через \(\Delta T\), и найдём изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) и совершённую им работу \(\Delta A\), которая равна площади под графиком на \(pV\)–диаграмме: \[\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\Delta T = \dfrac{3}{2}\Delta(pV) = \dfrac{3}{2}p_1(V_2 - V_1),\] \[\Delta A = p_1(V_2 - V_1) - \dfrac{1}{2}\pi(p_1 - p_0)\dfrac{V_2 - V_1}{2}.\] Подставляя эти выражения в первое начало термодинамики, получим ответ: \[\Delta Q = \left(\left(\dfrac{5}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)p_1 + \dfrac{\pi}{4}p_0\right)(V_2 - V_1).\] Отметим, что при вычислении работы площадь полуокружности следует искать, перемножая величины, имеющие соответствующие размерности. Это можно понять, представив, что мы изменили на \(pV\)–диаграмме масштаб одной из осей. Тогда график, изображающий процесс, превратится из полуокружности в участок эллипса, и при вычислении площади нужно будет вместо формулы \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус окружности, использовать формулу \(S = \pi ab\), где \(a\) и \(b\) — размеры полуосей эллипса. В этом случае размерность будет учтена автоматически.