Цилиндр с крючками на наклонной плоскости

После того, как цилиндр начал скатываться с наклонной плоскости, для любого момента времени справедливо следующее соотношение, представляющее собой закон изменения энергии: \(\Delta W + \Delta U = -A_{\text{сум}}\). Здесь \(\Delta W\) и \(\Delta U\) — изменения кинетической и потенциальной энергий цилиндра за время, прошедшее с начала скатывания, \(A_{\text{сум}}\) — суммарная работа, которую совершили над цилиндром силы сцепления с плоскостью. Знак «минус» показывает, что силы сцепления тормозят цилиндр.

Пусть к рассматриваемому моменту цилиндр прошёл по наклонной плоскости путь \(S\), спустившись на высоту \(h\), и приобрёл полную кинетическую энергию \(W_0\). Тогда закон изменения энергии принимает вид: \(W_0 - Mgh = -A_{\text{сум}}\) (за нулевой уровень потенциальной энергии принято начальное положение цилиндра). Полученное соотношение можно переписать в виде: \(Mgh = W_0 + A_{\text{сум}}\). Так как \(W_0 > 0\), то справедливо неравенство: \[Mgh > A_{\text{сум}}.\] Найдём теперь работу \(A_{\text{сум}}\). Она равна произведению работы \(A\), которую нужно затратить для того, чтобы оторвать от петли один крючок, на количество крючков, которые были в зацеплении в течение того времени, пока цилиндр прошёл путь \(S\). Последнее, в свою очередь, равно произведению площади, «заметённой» цилиндром длиной \(l\) на плоскости при скатывании, на количество крючков (и петель), приходящееся на единицу боковой поверхности цилиндра. В итоге: \(A_{\text{сум}} = A\cdot Sl\cdot\dfrac{N}{2\pi Rl}\). Подставляя выражение для \(A_{\text{сум}}\) в записанное выше неравенство и учитывая, что \(h/S = \sin\alpha\), окончательно получим: \[\dfrac{AN}{MR} < 2\pi g\sin\alpha.\]