Нагревание шаров

При нагревании шары расширяются. Что при этом происходит с центром масс висящего шара и с центром масс шара, лежащего на плоскости?

Что касается текста задачи, фраза «Обоим шарам сообщили одинаковые количества теплоты» не слишком ясна. Будем следовать интуитивному пониманию этой фразы, т. е. будем считать, что обе системы (A — висящий шар и B — шар, лежащий на плоскости) получили извне одну и ту же порцию энергии. Следует, однако, понимать, что это не единственная возможная трактовка.

При нагревании шаров их центры масс смещаются, поскольку меняются радиусы шаров. Центр масс шара A опускается, а центр масс шара B поднимается. Это показано на рис. 7 (масштаб не соблюдён).

Смещению центра масс соответствует изменение потенциальной энергии шара в поле тяжести.

В случае шара A потенциальная энергия уменьшается. Согласно первому началу термодинамики, этому соответствует дополнительный нагрев шара.

В случае шара B потенциальная энергия увеличивается. Согласно первому началу термодинамики, этому соответствуют некоторые «потери подведённой теплоты» на совершение механической работы, необходимой для подъёма шара. В итоге конечная температура шара B должна быть ниже конечной температуры шара A.

Описанный эффект очень мал. Например, можно найти (см. ниже), что для шаров из свинца радиусом 10 см и порции теплоты 50 ккал разность конечных температур шаров порядка \(10^{-5}\) К. Из-за пространственных и временных флуктуаций такую малую величину практически невозможно измерить.

Вычисления разности конечных температур от участников не требовалось. Тем не менее приводим его здесь как элемент обсуждения.

Можно считать, что работой против атмосферного давления можно пренебречь. Очевидно, что эта работа мала. Кроме того, она почти одинакова для обоих шаров. Поэтому она не должна существенно влиять на разность температур. Будем считать, что такие величины, как удельная теплоёмкость свинца и коэффициент теплового расширения свинца, постоянны (т. е. не зависят от температуры).

Теплоту, затраченную на изменение температур шаров, можно записать как \[Q_i = mc\Delta t_i, \quad\text{где } i = A \text{ или } B.\] Здесь \(m\) обозначает массу шара, \(c\) — удельную теплоёмкость свинца, \(\Delta t_i\) — изменение температуры шара.

Изменения потенциальной энергии шаров равны (без учёта знаков) \[\Delta E_i = mgr\alpha\Delta t_i, \quad\text{где } i = A \text{ или } B.\] Здесь \(g\) обозначает ускорение свободного падения, \(r\) — начальный радиус шара, \(\alpha\) — коэффициент теплового расширения свинца. Мы считаем здесь, что нить не меняет своей длины.

Учитывая условия, описанные в тексте задачи, и трактовку, упомянутую в начале решения, можно записать: \[Q = Q_A - A\Delta E_A \quad\text{для шара } A,\] \[Q = Q_B + A\Delta E_B \quad\text{для шара } B.\] \(A\) обозначает тепловой эквивалент работы: \(A \approx 0{,}24\,\dfrac{\text{кал}}{\text{Дж}}\). По сути, \(A\) — это лишь переводной коэффициент между калориями и джоулями. Если вы пользуетесь системой единиц, в которой калорий нет, \(A\) можно вообще опустить.

Таким образом, \[Q = (mc - Amgr\alpha)\Delta t_A \quad\text{для шара } A,\] \[Q = (mc + Amgr\alpha)\Delta t_B \quad\text{для шара } B\] и \[\Delta t_A = \frac{Q}{mc - Amgr\alpha}, \qquad \Delta t_B = \frac{Q}{mc + Amgr\alpha}.\] Окончательно получаем \[\Delta t = \Delta t_A - \Delta t_B = \frac{2Agr\alpha}{c^2 - (Agr\alpha)^2}\,\frac{Q}{m} \approx \frac{2AQgr\alpha}{mc^2}.\] (Мы пренебрегли членом с \(\alpha^2\), поскольку коэффициент \(\alpha\) очень мал.)

Теперь можно подставить численные значения: \(Q = 50\) ккал, \(A \approx 0{,}24\) кал/Дж, \(g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2\), \(m \approx 47\) кг (масса свинцового шара радиусом 10 см), \(r = 0{,}1\) м, \(c \approx 0{,}031\) кал/(г\(\cdot\)К), \(\alpha \approx 29\cdot10^{-6}\text{ К}^{-1}\). После вычислений получаем \(\Delta t \approx 1{,}5\cdot10^{-5}\) К.