Бесконечная цепочка резисторов

Если отбросить первое звено бесконечной цепочки, оставшаяся часть ничем не отличается от исходной цепи.

Легко заметить, что если убрать левую часть цепи, выделенную на рис. 4 пунктирным квадратом, то получится цепь, тождественная исходной (это следствие того, что цепь бесконечна).

Значит, можно воспользоваться эквивалентностью, графически показанной на рис. 5.

Алгебраически эту эквивалентность можно записать так: \[R_{AB} = r + \frac{1}{\dfrac1r + \dfrac{1}{R_{AB}}}.\] Отсюда \[R_{AB}^2 - rR_{AB} - r^2 = 0.\] У этого уравнения два решения: \[R_{AB} = \tfrac12\left(1 \pm \sqrt5\right)r.\] Решение, соответствующее знаку «\(-\)» в этой формуле, отрицательно, а сопротивление должно быть положительным. Поэтому мы его отбрасываем. Окончательно получаем \[R_{AB} = \tfrac12\left(1 + \sqrt5\right)r.\]