Выстрел в шарик

Во время удара горизонтальный импульс системы «шарик + пуля» сохраняется. После удара оба тела падают с одной высоты, значит, летят одинаковое время.

На рисунке: \(v\) — горизонтальная составляющая скорости пули после удара; \(V\) — горизонтальная составляющая скорости шарика после удара.

Будем пользоваться обозначениями рис. 2.

Поскольку на систему «шарик + пуля» не действуют горизонтальные силы, горизонтальная составляющая импульса этой системы до удара и после удара должна быть одной и той же: \[mv_0 = mv + MV.\] Значит, \[v = v_0 - \frac{M}{m}V.\] Из условий, описанных в тексте задачи, следует, что \[v > V.\]

После удара и шарик, и пуля продолжают свободное движение в поле тяжести с начальными горизонтальными скоростями \(V\) и \(v\) соответственно. Движение шарика и движение пули продолжаются одно и то же время: \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Это время свободного падения с высоты \(h\).

Расстояния, пройденные шариком и пулей за время \(t\), равны соответственно \[s = Vt \quad\text{и}\quad d = vt.\] Отсюда \[V = s\sqrt{\frac{g}{2h}}.\] Следовательно, \[v = v_0 - \frac{M}{m}s\sqrt{\frac{g}{2h}}.\] Окончательно: \[d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M}{m}s.\] Численно: \(d = 100\) м.

Полная кинетическая энергия системы была равна начальной кинетической энергии пули: \[E_0 = \frac{mv_0^2}{2}.\] Сразу после удара полная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий пули и шарика: \[E_m = \frac{mv^2}{2}, \qquad E_M = \frac{MV^2}{2}.\] Их разность, перешедшая в теплоту, составила \[\Delta E = E_0 - (E_m + E_M).\] Это следующая доля начальной кинетической энергии пули: \[p = \frac{\Delta E}{E_0} = 1 - \frac{E_m + E_M}{E_0}.\] Используя приведённые выше выражения для энергий и скоростей, получаем \[p = \frac{M}{m}\frac{s^2}{v_0^2}\frac{g}{2h}\left(2\frac{v_0}{s}\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M+m}{m}\right).\] Численно: \(p = 92{,}8\,\%\).