Начало конвекции

Направим ось \(x\) от нижней пластины, температура которой \(T_1\), к верхней, температура которой \(T_2\). Распределение температуры между пластинами можно записать в виде: \[T(x) = T_1 - \dfrac{T_1 - T_2}{l}x.\qquad (1)\] Запишем теперь распределение давления воздуха между пластинами: \[p(x) \approx p_0 - \rho gx = p_0 - \dfrac{\mu pg}{RT}x,\qquad (2)\] где \(p_0\) — давление воздуха у нижней пластины (\(x = 0\)), \(\rho\) — средняя плотность воздуха между пластинами, \(g\) — ускорение свободного падения. В последнем равенстве средняя плотность \(\rho\) выражена через среднее значение давления \(p\) и среднюю температуру \(T\).

Уравнения (1) и (2) описывают стационарное состояние воздуха между пластинами. Пусть теперь небольшой объем воздуха, находящийся у нижней пластины, начнет всплывать. Это обязательно произойдет, поскольку плотность воздуха верхних слоев больше. В некоторый момент времени всплывающий объем воздуха поднимется на высоту \(x\). Допустим, что подъем происходит адиабатически, т. е. теплообменом этого объема с внешней средой можно пренебречь. Попробуем оценить, на сколько понизится температура воздуха во всплывающем объеме. Поскольку процесс всплытия адиабатический, то работа, совершаемая воздухом этого объема равна уменьшению его внутренней энергии: \[p\,dV = -\nu C_V\,dT,\qquad (3)\] где \(\nu\) — число молей всплывающего воздуха, \(C_V\) — молярная теплоемкость, а \(dV\) и \(dT\) — малые изменения объема и температуры.

С другой стороны, согласно уравнению состояния идеального газа запишем \[\dfrac{pV}{T} = \text{const}.\] Прологарифмируем это выражение: \[\ln p + \ln V - \ln T = \text{const},\] а затем продифференцируем: \[d(\ln p + \ln V - \ln T) = \dfrac{dp}{p} + \dfrac{dV}{V} - \dfrac{dT}{T} = 0.\qquad (4)\] Теперь выразим приращение объема \(dV\) из соотношения (3) и подставим в (4): \[\dfrac{dp}{p} - \dfrac{\nu C_V\,dT}{pV} - \dfrac{dT}{T} = 0.\] Отсюда \[dT = \dfrac{V\,dp}{\nu(C_V + R)} = \dfrac{RT\,dp}{p(C_V + R)}.\] Поскольку \[dp = -\dfrac{\mu pg}{RT}x,\] как это следует из (2), то изменение температуры воздуха, всплывающего на высоту \(x\), равно \[dT = -\dfrac{\mu gx}{C_V + R}.\] Очевидно, что конвекция начнется в том случае, если понижение температуры всплывающего объема воздуха будет меньше уменьшения температуры окружающего воздуха, связанного с распределением (1). Это означает, что если температура поднявшегося воздуха на высоту \(x\) окажется больше температуры внешнего воздуха на этом уровне, то конвективный поток будет подниматься дальше.

Аналитическая запись этого условия имеет вид: \[\dfrac{T_1 - T_2}{l}x > \dfrac{\mu g}{C_V + R}x.\] Отсюда \[T_1 - T_2 > \dfrac{\mu gl}{C_V + R}.\]