Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Циркуляция воды между сосудами

  1. Циркуляция воды между сосудами

    ВсОШ 1997/98, 11 кл.
    7/10

    Два высоких сосуда с водой соединены тонкими длинными трубками \(AB\) и \(CD\), расположенными на расстоянии \(h\) друг от друга (рис. 42.11). Вода в сосудах поддерживается при температурах \(t_1\) и \(t_2\) (\(t_1 > t_2\)). Для поддержания температур в сосудах неизменными к более теплому сосуду приходится подводить тепло (мощность нагревателя \(N\)), а от холодного — отводить такую же мощность. Пренебрегая теплообменом с окружающей средой и теплопроводностью материала трубок, определите:

    Рисунок

    1. уровень жидкости, отсчитываемый от нижней трубки, на котором давление в обоих сосудах будет одинаково;

    2. разность давлений \(\Delta p_{AB}\) и \(\Delta p_{CD}\) на концах трубок \(AB\) и \(CD\);

    3. мощность \(N\), подводимую к теплому сосуду (и отводимую от холодного).

    Плотность воды зависит от ее температуры \(t\) по закону \(\rho = \rho_0 - \alpha(t - t_0)\), где \(\rho_0\), \(\alpha\) и \(t_0\) --- постоянные величины. За время \(\Delta\tau\) через любое сечение трубки протекает масса жидкости \[\Delta m = k\Delta p\cdot\Delta\tau,\] где \(\Delta p\) --- разность давлений на концах трубки, \(k\) --- некоторый известный коэффициент. Удельная теплоемкость \(c\) воды задана.
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(h_0/2\);  2) \(\Delta p_{AB} = \Delta p_{CD} = \alpha\Delta t\,g\dfrac{h}{2}\);  3) \(N = ck\alpha(\Delta t)^2g\dfrac{h}{2}\).

    Решение

    Через обе трубки за время \(\Delta\tau\) протекают одинаковые массы воды. Поэтому \[p_A - p_B = p_D - p_C = \Delta p.\] Вода в верхней трубке перетекает из теплого сосуда в холодный, а в нижней — из холодного в теплый (циркуляция воды). В каждом из сосудов давление уменьшается с высотой по линейному закону. Так как \(\rho_1(t_1) < \rho_2(t_2)\), давление в теплом сосуде падает с высотой медленнее, чем в холодном. График зависимости давлений \(p_1\) и \(p_2\) от высоты между нижней и верхней трубками представлен на рис. 172.

    Рисунок

    Из графика следует:

    1) давления в сосудах одинаковы на уровне \(h_0/2\);

    2) \(\Delta p = \Delta\rho\,g\dfrac{h}{2}\), где \(\Delta\rho = \rho_2(t_2) - \rho_1(t_1) = \alpha(t_2 - t_1) = \alpha\Delta t\). Таким образом, \[\Delta p = \alpha\Delta t\,g\dfrac{h}{2}.\] По условию задачи \[\dfrac{\Delta m}{\Delta\tau} = k\Delta p = k\alpha\Delta t\,g\dfrac{h}{2}.\] Мощность \(N\), подводимая к теплому сосуду или отводимая от холодного, \[N = c\dfrac{\Delta m}{\Delta\tau}\Delta t = ck\alpha(\Delta t)^2g\dfrac{h}{2}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх