Кубик на доске с пружиной

1. Выделившееся количество тепла не может превышать начальную кинетическую энергию кубика. В случае, если в некоторый момент останавливают кубик и доску, а пружина оказывается недеформированной, то дальнейшие движения в системе невозможны, и выделившееся количество тепла будет максимально и равно \[Q_{\max} = \dfrac{mv_0^2}{2} \simeq 0{,}05\text{ Дж}.\] Описанная выше ситуация реализуется при определенном значении (или значениях!) коэффициента трения \(\mu\).

Рассмотрим систему, когда кубик движется относительно доски. Запишем уравнения второго закона Ньютона для кубика и доски: \[ma_1 = -\mu mg.\qquad\text{(1)}\] \[Ma_2 = \mu mg - kx.\qquad\text{(2)}\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения кубика и доски соответственно, а \(x\) — деформация пружины в произвольный момент времени \(t\).

Из уравнений (1) и (2) при заданных начальных условиях вытекают законы движения кубика и доски: \[v_1(t) = v_0 - \mu gt,\quad x_1(t) = v_0t - \dfrac{\mu gt^2}{2},\qquad\text{(3)}\] \[v_2(t) = \dfrac{\mu mg}{\sqrt{kM}}\sin\left(\sqrt{\dfrac{k}{M}}\,t\right),\quad x_2(t) = \dfrac{\mu mg}{k}\left[1 - \cos\left(\sqrt{\dfrac{k}{M}}\,t\right)\right].\qquad\text{(4)}\] Из анализа уравнений (3) и (4) следует, что доска останавливается, а пружина приходит в недеформированное состояние в моменты \(t_{2n} = 2\pi\sqrt{\dfrac{k}{M}}\), где \(n\) — натуральное число (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)).

Остановка кубика (относительно стола) произойдет в момент \(t_1 = \dfrac{v_0}{\mu g}\). Система придет в состояние покоя при условии, когда \(t_1 = t_{2n}\), а \(x_1(t_1) < L\) (кубик не должен соскользнуть с доски). Отсюда следует, что коэффициент трения \(\mu = \dfrac{v_0}{2\pi g\sqrt{M/k}}\dfrac{1}{n} \approx \dfrac{0{,}16}{n}\).

При этом \(\mu \geqslant \dfrac{v_0^2}{2gL} \approx 0{,}051\).

Таким образом, в системе выделяется максимальное количество тепла \(Q_{\max} = \dfrac{mv_0^2}{2} \approx 0{,}05\) Дж при трех значениях коэффициента трения: \(\mu_1 \approx 0{,}16\), \(\mu_2 \approx 0{,}08\), \(\mu_3 \approx 0{,}053\).

Эту часть решения можно получить из простых соображений. Доска останавливается, а пружина оказывается в недеформированном состоянии через целое число периодов колебаний \[t_{2n} = nT = 2\pi n\sqrt{\dfrac{M}{k}}\,.\] Кубик, движущийся в одном направлении равнозамедленно, останавливается в момент \(t_1 = \dfrac{v_0}{\mu g}\). Приравнивая эти значения времени, получаем приведенный выше результат. Значения целого числа \(n\) определяются из условия, что кубик не соскальзывает с доски; отсюда получим три возможных значения \(\mu\) (\(\mu_1\), \(\mu_2\) и \(\mu_3\)).

2. Для окончательного решения задачи осталось проверить справедливость предположения о том, что кубик все время движется в одном направлении. Это условие означает, что скорость кубика в любой момент больше скорости доски.

Покажем это для случая \(n = 1\). Изобразим скорости кубика \(v_1(t)\) и доски \(v_2(t)\) на графике (рис. 171). Они не должны пересекаться на интервале \((0;\,T)\). Это условие можно записать (приблизительно) в виде \[\dfrac{3}{4}\,v_0 > \dfrac{\mu_1 mg}{\sqrt{kM}} = \dfrac{m}{2\pi M}\,v_0\,.\] При подстановке заданных числовых значений можно убедиться, что это неравенство выполняется с большим запасом.

Аналогично можно рассмотреть случаи \(n = 2\) и \(n = 3\).