Перемычка и конденсатор

Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа \(K\). Пусть в этот момент через перемычку течет ток \(I\), а скорость перемычки равна \(v\) (см. рис. 173). Уравнение движения перемычки: \[m\dfrac{dv}{dt} = IlB.\qquad\text{(1)}\]

Перепишем это уравнение в виде \[m\,dv = lB\,I\,dt = -lB\,dq = -lBC\,dU,\qquad\text{(2)}\] где \(q\) — заряд, а \(U\) — напряжение на конденсаторе. Проинтегрируем соотношение (2): \[\int\limits_0^v dv = -\int\limits_{U_0}^U \dfrac{lBC}{m}\,dU,\quad\text{т.е.}\quad v = \dfrac{lBC}{m}(U_0 - U).\qquad\text{(3)}\] Здесь \(U_0\) — начальное напряжение на конденсаторе. Запишем закон Ома для замкнутой цепи: \(lBv = U - IR\). Выразим из этого уравнения силу тока \(I\) и подставим в уравнение (1). Уравнение (1) будет иметь вид: \[\dfrac{dv}{dt} + \dfrac{(lB)^2}{mR}\,v = \dfrac{lBU}{mR}.\] После подстановки выражения \(U\) из (2) окончательно получим уравнение движения перемычки: \[\dfrac{dv}{dt} + \left[\dfrac{(lB)^2}{mR} + \dfrac{1}{RC}\right]v = \dfrac{lBU_0}{mR}.\qquad\text{(4)}\] 1. Для определения \(U_0\) по заданному на рис. 174 графику \(v(t)\) найдем при \(t = 0\) ускорение \(a_0\) перемычки (\(a_0\) равно угловому коэффициенту касательной к \(v(t)\), \(a_0 \simeq (0{,}43 \pm 0{,}14)\) м/с\(^2\)). Используя уравнение (4), вычислим \(U_0\):

\[U_0 = \dfrac{a_0mR}{lB} = (100 \pm 10)\text{ В}.\] 2. Для нахождения емкости \(C\) выберем еще одну точку (\(t \neq 0\)) и найдем скорость \(v_1\) и ускорение \(a_1\) перемычки для этого момента времени. Из уравнения (4) вычислим емкость конденсатора \(C\): \[C = \left[\dfrac{R}{v_1}\left(\dfrac{lBU_0}{mR} - a_1\right) - \dfrac{(lB)^2}{m}\right]^{-1} = (1 \pm 0{,}1)\cdot 10^{-3}\text{ Ф}.\] 3. Установившаяся скорость перемычки равна \[v_{\text{уст}} = \dfrac{lBU_0}{m}\left[\dfrac{(lB)^2}{m} + \dfrac{1}{C}\right]^{-1} = (14{,}3 \pm 1{,}5)\text{ м/с}.\] Погрешности полученных результатов обусловлены в основном неточностью определения тангенса угла наклона прямых \(\alpha\) и \(\beta\).