Диски в электромагните

Падение без ускорения означает, что сила тяжести равна тормозящей силе вихревых токов. Выясните, как эта сила зависит от проводимости металла и поля, а вес — от плотности.

\(I^2\propto\rho_m\rho_{\text{эл}}\) (\(\rho_m\) — плотность металла, \(\rho_{\text{эл}}\) — его удельное сопротивление). Цинк: \(I\approx0{,}6\) А (\(0{,}62\) А). Четвёртый диск — из алюминия (по этим данным в пределах погрешности подходит и магний).

Что происходит. Диск падает с постоянной скоростью, значит, сила тяжести уравновешена силой, тормозящей диск. Её создают вихревые токи: в движущемся в неоднородном магнитном поле проводящем диске возникает ЭДС индукции, она гонит токи по диску, а на эти токи действует сила Ампера, направленная против движения. Размеры дисков и скорость одинаковы, поэтому они отличаются только плотностью \(\rho_m\) и удельным сопротивлением \(\rho_{\text{эл}}\). Нужно выяснить, как от них зависит равенство сил, и сравнить диски по току.

Обозначения. \(\rho_m\) — плотность металла, \(\rho_{\text{эл}}\) — удельное сопротивление, \(\sigma_{\text{п}}=1/\rho_{\text{эл}}\) — проводимость, \(V_d\) — объём диска (общий для всех), \(B\) — индукция поля в зазоре, \(B=\beta I\) по условию.

1. Сила торможения. В каждой точке диска, движущегося со скоростью \(v\) в поле \(B\), возникает электрическое поле \(E\sim vB\) (сила Лоренца на свободные заряды движущегося металла; по закону Фарадея то же даёт изменение потока через контуры в диске). По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока \(j=\sigma_{\text{п}}E\sim\sigma_{\text{п}}vB\). Сила Ампера на единицу объёма \(f=jB\sim\sigma_{\text{п}}vB^2\). Диски одинаковы по форме и размерам и движутся с одной скоростью, а профиль поля у всех один и тот же и лишь масштабируется током; значит, коэффициент формы одинаков, и полная тормозящая сила равна \[F_{\text{торм}}=\kappa_1\,\sigma_{\text{п}}\,v\,V_d\,B^2 .\] Формула справедлива, пока токи не меняют заметно поле (слабая индукция тока по сравнению с полем электромагнита) и скорость мала.

2. Условие падения без ускорения. Второй закон Ньютона для диска в проекции на вертикаль при постоянной скорости: \(m g-F_{\text{торм}}=0\), где масса \(m=\rho_mV_d\) (выталкивающей силой воздуха пренебрегаем): \[\rho_mV_dg=\kappa_1\frac{1}{\rho_{\text{эл}}}\,v\,V_d\,\beta^2I^2\quad\Rightarrow\quad I^2=\frac{g}{\kappa_1v\beta^2}\,\rho_m\rho_{\text{эл}}=\kappa\,A,\qquad A=\rho_m\rho_{\text{эл}} .\] Постоянная \(\kappa\) у всех дисков одна и та же (\(v\), размеры и электромагнит одинаковы). Значит, \(I^2\) прямо пропорционален произведению \(A\) плотности на удельное сопротивление.

3. Калибровка по двум опытам. Табличные значения (при комнатной температуре; \(A\) в единицах \(\text{г/см}^3\cdot\text{мкОм}\!\cdot\!\text{см}\)): серебро \(\rho_m=10{,}5\), \(\rho_{\text{эл}}=1{,}6\), \(A_{\text{Ag}}=16{,}8\); платина \(21{,}4\) и \(10{,}5\), \(A_{\text{Pt}}=225\); цинк \(7{,}1\) и \(5{,}9\), \(A_{\text{Zn}}=42\). Постоянная \(\kappa=I^2/A\): по серебру \(0{,}41^2/16{,}8=0{,}0100\), по платине \(1{,}39^2/225=0{,}0086\ \text{А}^2\) на единицу \(A\). Два значения различаются на \(15\%\): это и есть реальная погрешность опыта и таблиц. Берём среднее \(\kappa\approx0{,}0093\).

4. Цинк. \(I=\sqrt{\kappa A_{\text{Zn}}}=\sqrt{0{,}0093\cdot42}\approx0{,}62\text{ А}\). По одному серебру получилось бы \(0{,}65\) А, по одной платине \(0{,}60\) А, поэтому ответ: около \(0{,}6\) А.

5. Четвёртый диск. \(A_3=\dfrac{I_3^2}{\kappa}=\dfrac{0{,}29^2}{0{,}0093}\approx9\text{ (от 8,4 по серебру до 9,8 по платине)}\). Из таблиц ищем металл, у которого произведение \(\rho_m\rho_{\text{эл}}\) близко к 9: алюминий (\(2{,}7\cdot2{,}65=7{,}2\)), магний (\(1{,}74\cdot4{,}5=7{,}8\)). Медь (\(8{,}96\cdot1{,}7=15\)) не подходит: для неё ток был бы \(0{,}39\) А, а не \(0{,}29\) А; золото (\(19{,}3\cdot2{,}2=42\)) и цинк (\(42\)) дали бы около \(0{,}6\) А. Подходит лёгкий металл, наиболее вероятно алюминий.

Обратите внимание: сила торможения растёт как \(B^2\), а \(B\propto I\), поэтому сила пропорциональна \(I^2\), а не \(I\): токи сравниваются через квадрат. Объём диска сокращается только потому, что размеры дисков одинаковы.

Проверка. Размерность: сила на единицу объёма \(f=jB\) имеет размерность \(\dfrac{\text{А}}{\text{м}^2}\cdot\text{Тл}=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^3}\), как и вес единицы объёма \(\rho_mg\), верно. Зависимость \(I^2\propto A\) проверена на двух металлах: прямая на рисунке проходит через обе опытные точки (в логарифмическом масштабе — прямая с наклоном 1). Предельный случай: чем меньше удельное сопротивление, тем сильнее торможение вихревыми токами, значит, тем меньше нужен ток для того же падения; так и получается: \(I^2\propto\rho_{\text{эл}}\).

Физический смысл: хороший проводник и лёгкий металл тормозятся вихревыми токами сильнее, поэтому им хватает слабого поля, а тяжёлому металлу с большим сопротивлением нужно сильное поле.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.