Три цикла

Тепло газ обменивает только на изотермах и изохорах. Изохоры \(2\)—\(3\) и \(4\)—\(1\) соединяют одни и те же две изотермы — сравните теплоты на них.

\(\eta=\dfrac{\eta_1+\eta_2-\eta_1\eta_2}{2-\eta_1}\).

Что происходит. Во всех трёх циклах газ получает и отдаёт теплоту только на изотермах и изохорах; адиабата теплоты не обменивает. Поэтому достаточно четырёх теплот: на изотермах \(1\)—\(2\) и \(3\)—\(4\) и на изохорах \(2\)—\(3\) и \(4\)—\(1\). Ключевая мысль: обе изохоры соединяют одни и те же две изотермы, а теплота на изохоре определяется только изменением температуры, поэтому теплоты на них равны по величине. Тогда два известных КПД связывают все четыре теплоты, и КПД третьего цикла выражается через них.

Обозначения. \(T_1\) — температура изотермы \(1\)—\(2\), \(T_2\) — температура изотермы \(3\)—\(4\), \(T_1>T_2\) (точки \(1\) и \(2\) лежат выше). Все теплоты — положительные числа: \(Q_{12}\) — получено газом на участке \(1\)—\(2\), \(Q_{23}\) — отдано на \(2\)—\(3\), \(Q_{34}\) — отдано на \(3\)—\(4\), \(Q_{41}\) — получено на \(4\)—\(1\). Объёмы: \(V_4=V_1\), \(V_3=V_2\).

1. Теплоты на участках. Первый закон термодинамики для каждого процесса. На изотерме \(1\)—\(2\) газ расширяется, \(\Delta U=0\), значит, \(Q_{12}=A_{12}>0\) — газ получает тепло. На изохоре \(2\)—\(3\) работа равна нулю, давление падает, температура падает от \(T_1\) до \(T_2\): газ отдаёт \(Q_{23}=\tfrac32\nu R(T_1-T_2)\) (для одноатомного газа \(C_V=\tfrac32R\)). На изотерме \(3\)—\(4\) объём уменьшается, \(\Delta U=0\), газ отдаёт \(Q_{34}=-A_{34}>0\). На изохоре \(4\)—\(1\) давление растёт, температура растёт от \(T_2\) до \(T_1\): газ получает \(Q_{41}=\tfrac32\nu R(T_1-T_2)\). Сравнивая, получаем \[Q_{41}=Q_{23}.\] Обратите внимание: теплота на изохоре равна \(C_V\Delta T\), а \(\Delta T\) у обеих изохор одна и та же по модулю; объёмы при этом разные, и на равенство это не влияет. Именно это равенство позволяет связать циклы (одноатомность нужна лишь для значения \(C_V\), на ответ оно не влияет).

2. КПД двух заданных циклов. КПД любого цикла \(\eta=1-\dfrac{Q_{\text{отд}}}{Q_{\text{пол}}}\) (полезная работа цикла равна разности полученного и отданного тепла, закон сохранения энергии для газа за цикл). Цикл \(1\)—\(2\)—\(3\)—\(1\): получено \(Q_{12}\), отдано \(Q_{23}\) (на адиабате \(3\)—\(1\) теплоты нет): \[\eta_1=1-\frac{Q_{23}}{Q_{12}}\quad\Rightarrow\quad Q_{23}=(1-\eta_1)\,Q_{12}.\] Цикл \(1\)—\(3\)—\(4\)—\(1\): получено \(Q_{41}\), отдано \(Q_{34}\): \[\eta_2=1-\frac{Q_{34}}{Q_{41}}\quad\Rightarrow\quad Q_{34}=(1-\eta_2)\,Q_{41}=(1-\eta_2)(1-\eta_1)\,Q_{12}.\]

3. КПД цикла \(1\)—\(2\)—\(3\)—\(4\)—\(1\). Тепло газ получает на двух участках, \(1\)—\(2\) и \(4\)—\(1\), отдаёт на двух, \(2\)—\(3\) и \(3\)—\(4\): \[Q_{\text{пол}}=Q_{12}+Q_{41}=(2-\eta_1)\,Q_{12},\qquad Q_{\text{отд}}=Q_{23}+Q_{34}=(1-\eta_1)(2-\eta_2)\,Q_{12}.\] Отсюда \[\eta=1-\frac{(1-\eta_1)(2-\eta_2)}{2-\eta_1}=\frac{\eta_1+\eta_2-\eta_1\eta_2}{2-\eta_1}.\]

Обратите внимание. У третьего цикла <<нагреватель>> действует на двух участках: тепло поступает не только на изотерме \(1\)—\(2\), но и на изохоре \(4\)—\(1\). Если взять в знаменатель одно \(Q_{12}\), ответ получится завышенным.

Проверка. КПД безразмерен. Предельные случаи: \(\eta_1=\eta_2=0\) даёт \(\eta=0\), \(\eta_1=\eta_2=1\) даёт \(\eta=1\). Второй способ — прямой расчёт по температурам. Адиабата \(3\)—\(1\) (\(V_3=V_2\)): \(T_1V_1^{2/3}=T_2V_2^{2/3}\), откуда \(L=\ln\dfrac{V_2}{V_1}=\tfrac32\ln\dfrac{T_1}{T_2}\). Тогда \(Q_{12}=\nu RT_1L\), \(Q_{34}=\nu RT_2L\). Для \(T_1/T_2=2\): \(L=1{,}040\), \(\eta_1=1-\dfrac{(T_1-T_2)}{T_1\ln(T_1/T_2)}=0{,}279\), \(\eta_2=1-\dfrac{T_2\ln(T_1/T_2)}{T_1-T_2}=0{,}307\). Прямой расчёт третьего цикла: \(\eta=\dfrac{\nu R(T_1-T_2)L}{\nu RT_1L+\tfrac32\nu R(T_1-T_2)}=\dfrac{1{,}040}{2{,}080+1{,}5}=0{,}290\). Формула: \(\dfrac{0{,}279+0{,}307-0{,}0855}{2-0{,}279}=0{,}290\). Результаты совпадают.

Физический смысл: КПД составного цикла получился средним между \(\eta_1\) и \(\eta_2\) (в примере \(0{,}279\); \(0{,}307\) и \(0{,}290\)): он собран из двух изотерм и двух изохор, и теплота изохоры \(4\)—\(1\) здесь идёт в нагреватель вместе с \(Q_{12}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.