Пружина у стенки

Сила на стенку — это сила упругости невесомой пружины. Найдите установившиеся вынужденные колебания тела и отношение амплитуды силы на стенку к \(F_0\) как функцию \(M\omega^2/k\).

Амплитуда силы на стенку равна \(3F_0\) при \(k=\dfrac32M\omega^2\) (сила в фазе с \(F\)) и при \(k=\dfrac34M\omega^2\) (в противофазе). Если нужна сила в три раза меньше \(F_0\) (амплитуда \(F_0/3\)), то \(k=\dfrac14M\omega^2\).

Что происходит. Пружина невесомая, поэтому сила, с которой она давит на стенку, равна силе, с которой она давит на тело, то есть силе упругости \(kx\). Тело под действием \(F\) и пружины совершает вынужденные колебания с частотой \(\omega\) внешней силы. Амплитуда силы на стенку зависит от отношения \(M\omega^2/k\) и может быть больше или меньше \(F_0\), вплоть до резонанса. Найдём это отношение.

Обозначения. Ось \(x\) направлена к стенке, начало — положение тела при недеформированной пружине; \(x\) — сжатие пружины (смещение тела), \(k\) — жёсткость, \(u=M\omega^2/k\). Трения нет, стенка неподвижна.

1. Уравнение движения. Второй закон Ньютона для тела в проекции на ось \(x\): на тело действует внешняя сила \(F_0\cos\omega t\) вдоль \(x\) и сила упругости \(-kx\) (пружина выталкивает тело от стенки): \[M\ddot x=F_0\cos\omega t-kx .\] Нас интересует установившееся движение. Свободные колебания на частоте \(\sqrt{k/M}\) в системе без трения не затухают, поэтому считаем, что они не возбуждены (иначе сила на стенку периодически менялась бы по двум частотам).

2. Установившееся решение. Ищем \(x=A\cos\omega t\) (\(A\) может быть и отрицательной: тогда движение в противофазе с силой). Подставляем: \(-M\omega^2A=F_0-kA\), откуда \[A=\frac{F_0}{k-M\omega^2}.\]

3. Сила на стенку. Сила, действующая на стенку, равна силе упругости \(kx\) (пружина невесомая, на неё действуют равные по модулю силы с обеих сторон): \[F_{\text{ст}}=kA\cos\omega t=\frac{F_0}{1-u}\cos\omega t,\qquad u=\frac{M\omega^2}{k}.\] Обозначим \(R=\dfrac1{1-u}\): амплитуда силы на стенку равна \(|R|F_0\), и \(R>0\) при \(u<1\) (сила на стенку в фазе с \(F\)), \(R<0\) при \(u>1\) (в противофазе).

4. Условия задачи. Сила на стенку по величине отличается от \(F_0\) в три раза.

• Сила втрое больше: \(|R|=3\). При \(R=3\): \(1-u=\tfrac13\), \(u=\tfrac23\), откуда \(k=\tfrac32M\omega^2\). При \(R=-3\): \(1-u=-\tfrac13\), \(u=\tfrac43\), откуда \(k=\tfrac34M\omega^2\).

• Сила втрое меньше: \(|R|=\tfrac13\). При \(R=\tfrac13\): \(u=-2\) невозможно (\(k>0\)). При \(R=-\tfrac13\): \(1-u=-3\), \(u=4\), откуда \(k=\tfrac14M\omega^2\).

Обратите внимание. Таких жёсткостей несколько, потому что кривая \(R(u)\) имеет резонанс при \(u=1\): по обе стороны от него сила на стенку может быть втрое больше \(F_0\). Жёсткость \(k=\tfrac34M\omega^2\) даёт ту же амплитуду, что и \(\tfrac32M\omega^2\), но сила на стенку при этом направлена против \(F\).

Проверка. Размерность: \(M\omega^2\) — это кг/с\(^2\) = Н/м, то есть жёсткость, верно. Предельные случаи: \(k\to\infty\) (\(u\to0\)): \(R\to1\), пружина жёсткая, тело стоит, сила на стенку равна \(F_0\) (так и должно быть без пружины). \(k\to0\) (\(u\to\infty\)): \(R\to0\), мягкая пружина не передаёт сил на стенку, как виброизоляция. При \(u=2\) (\(k=\tfrac12M\omega^2\)) \(R=-1\): амплитуда та же, что у \(F_0\), но в противофазе.

Физический смысл: пружина изолирует стенку от колебаний, только если она очень мягкая (\(k<\tfrac12M\omega^2\), \(u>2\)); при \(k\) порядка \(M\omega^2\) сила на стенку возрастает, у резонанса — в десятки раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.