Клин в воде

Высота подъёма воды между близкими пластинками обратно пропорциональна зазору, а зазор клина растёт прямо пропорционально расстоянию от его ребра.

\(\alpha=\dfrac{2\sigma}{\rho g C}\approx 7\cdot10^{-3}\text{ рад}\approx0{,}4^\circ\), где \(C\approx 2{,}2\cdot10^{-3}\text{ м}^2\) — постоянная гиперболы \(xh=C\), снятая с рисунка.

Что происходит. Вода поднимается между смоченными пластинками тем выше, чем уже зазор. Зазор клина растёт прямо пропорционально расстоянию \(x\) от ребра, поэтому высота подъёма обратно пропорциональна \(x\), и граница воды на снимке — гипербола. Постоянная этой гиперболы определяется углом \(\alpha\): измерим её на снимке и найдём угол.

Обозначения. \(x\) — горизонтальное расстояние от ребра клина (левый край снимка), \(d\) — зазор между пластинками на этом расстоянии, \(h\) — высота воды над её уровнем в сосуде вдали от клина, \(l\) — длина выделенного столбика воды вдоль ребра. Из таблиц: поверхностное натяжение воды \(\sigma=0{,}073\text{ Н/м}\), плотность \(\rho=1000\text{ кг/м}^3\). Угол \(\alpha\) мал, и \(d=\alpha x\).

1. Подъём воды в узком зазоре. Условие равновесия столбика воды: сумма вертикальных сил на него равна нулю. Выделим столбик шириной \(d\) (между пластинками), длиной \(l\) вдоль ребра и высотой \(h\) над уровнем в сосуде. Вниз действует сила тяжести \(\rho g\,h\,d\,l\). Вверх — силы поверхностного натяжения вдоль двух линий, где вода касается пластинок; длина каждой равна \(l\). Смачивание полное, краевой угол равен нулю, и каждая сила направлена вдоль пластинки вверх и равна \(\sigma l\). Атмосферное давление на столбик сверху и снизу одно и то же и в уравнение не входит. Получаем \[\rho g\,h\,d\,l=2\sigma l\quad\Rightarrow\quad h=\frac{2\sigma}{\rho g\,d}.\] Формула верна, когда зазор \(d\) мал по сравнению с высотой \(h\) и со всеми размерами пластинок: тогда форму мениска можно не учитывать.

2. Форма границы. Подставим \(d=\alpha x\): \[h=\frac{2\sigma}{\rho g\alpha}\cdot\frac1x\quad\Rightarrow\quad x\,h=C=\frac{2\sigma}{\rho g\,\alpha}.\] Произведение \(xh\) одно и то же во всех точках границы: это гипербола с асимптотами — ребром клина и уровнем воды в сосуде. Угол выражается через её постоянную: \(\alpha=\dfrac{2\sigma}{\rho g C}\).

3. Снимаем постоянную \(C\) с рисунка. Нужно учесть два обстоятельства. Первое: масштабы по осям разные. По горизонтали пластинка на снимке имеет ширину 12 см, по вертикали масштаб задаёт отрезок <<1 см>>; он на снимке в полтора раза длиннее, чем отрезок в 1 см по горизонтали. Второе: уровень воды в сосуде на снимке не виден, он ниже кадра. Поэтому отсчитываем \(x\) вправо от левого края, \(y\) — вверх от нижнего края снимка, оба в сантиметрах; высота \(h=y-y_0\), где \(y_0<0\) неизвестна.

Возьмём три точки границы: \(x_1=3\) см, \(y_1=4{,}0\) см; \(x_2=4\) см, \(y_2=2{,}35\) см; \(x_3=6\) см, \(y_3=0{,}43\) см. Из равенства \(x_1(y_1-y_0)=x_3(y_3-y_0)\) находим уровень воды: \[y_0=\frac{x_1y_1-x_3y_3}{x_1-x_3}=\frac{12{,}0-2{,}6}{-3}\ \text{см}\approx-3{,}15\text{ см}.\] Тогда \(C=x_1(y_1-y_0)\approx3\cdot7{,}15\approx21{,}5\text{ см}^2\). Проверим по средней точке: \(x_2(y_2-y_0)\approx4\cdot5{,}5=22{,}0\text{ см}^2\). Три значения \(xh\) (21,5; 22,0; 21,5) совпадают в пределах точности отсчёта, значит, гипербола подходит. Берём \(C\approx22\text{ см}^2=2{,}2\cdot10^{-3}\text{ м}^2\).

Обратите внимание: высоту нельзя отсчитывать от нижнего края снимка, потому что уровень воды в сосуде лежит ниже кадра (около 3 см). Именно поэтому по одной точке \(C\) не найти, а по трём можно: неизвестный нуль высоты \(y_0\) определяется вместе с \(C\).

4. Угол. \[\alpha=\frac{2\sigma}{\rho g C}=\frac{2\cdot0{,}073}{1000\cdot9{,}8\cdot2{,}2\cdot10^{-3}}\approx6{,}8\cdot10^{-3}\text{ рад}\approx0{,}4^\circ.\]

Проверка. Размерность: \(\rho g C\) — это \(\dfrac{\text{Н}}{\text{м}^3}\cdot\text{м}^2=\dfrac{\text{Н}}{\text{м}}\), как у \(\sigma\); \(\alpha\) безразмерен, верно. Угол получился малым, значит, допущение \(d=\alpha x\) оправдано. Проверка на точке: при \(x=6\) см зазор равен \(\alpha x\approx0{,}41\) мм, и \(h=\dfrac{2\sigma}{\rho g d}=\dfrac{0{,}146}{9800\cdot4{,}1\cdot10^{-4}}\approx3{,}6\) см, а по снимку \(y_3-y_0=3{,}6\) см: подъём согласуется с зазором.

Физический смысл: пластинки сходятся под углом меньше половины градуса, и вода в вершине клина, где зазор доли миллиметра, поднимается на много сантиметров.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.