Проводник на пружинах с конденсатором

Теперь контур замкнут через конденсатор: его заряд \(q=C\mathcal E=CBlv\) следит за скоростью проводника, а ток \(I=dq/dt\) пропорционален ускорению. Найдите, куда направлена сила Ампера при таком токе, и сравните её с инерционной добавкой к массе.

Гармонические колебания около положения равновесия с амплитудой, равной начальному смещению, без затухания, но с увеличенным периодом: \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m+CB^2l^2}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m+CB^2l^2}{k}} .\] Магнитное поле вместе с конденсатором действует как добавка \(CB^2l^2\) к массе проводника.

Что происходит. В отличие от задачи 4, цепь теперь замкнута: проводник, две проводящие пружины и конденсатор образуют контур. При движении проводника со скоростью \(v\) в нём возникает ЭДС индукции \(\mathcal E=Blv\), и конденсатор заряжается до напряжения \(\mathcal E\) (сопротивления нет, заряд успевает следить за ЭДС мгновенно). Пока скорость меняется, меняется и заряд, то есть по контуру идёт ток, а на проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. По правилу Ленца она мешает изменению скорости, то есть направлена против ускорения: проводник ведёт себя так, будто стал тяжелее. Главная идея — записать второй закон Ньютона с этой силой и увидеть в нём уравнение гармонических колебаний.

Обозначения. Ось \(x\) направлена вертикально вверх, \(x=0\) — положение равновесия (пружины растянуты на \(\Delta l_0=mg/k\)); \(v=\dot x\), \(a=\ddot x\); \(q\) — заряд конденсатора, \(I=\dot q\) — ток в контуре; \(A\) — начальное смещение.

1. Заряд конденсатора и ток. ЭДС индукции в проводнике длиной \(l\), движущемся со скоростью \(v\) поперёк поля \(B\), равна \(\mathcal E=Blv\). Сопротивления в контуре нет, поэтому напряжение на конденсаторе всё время равно ЭДС, и \[q=C\mathcal E=CBl\,v,\qquad I=\frac{dq}{dt}=CBl\,\frac{dv}{dt}=CBl\,a .\] Ток течёт, только пока проводник ускоряется; при \(a=0\) (в крайних точках ускорение максимально, а в положении равновесия равно нулю) ток обращается в нуль.

2. Сила Ампера. На проводник с током \(I\) в поле \(B\) действует сила \(F_{\text{А}}=BIl=CB^2l^2\,a\). Её направление удобно найти из энергии: мощность, которую проводник отдаёт в цепь, равна \(\mathcal E I\), и ровно такую же мощность развивает против движения сила Ампера: \[F_{\text{А},x}\,v=-\mathcal E I=-Blv\cdot CBl\,a\quad\Rightarrow\quad F_{\text{А},x}=-CB^2l^2\,a .\] Сила Ампера направлена против ускорения (правило Ленца: индукционный ток мешает причине, его вызвавшей, — изменению скорости).

Обратите внимание: сила направлена против ускорения, а не против скорости, как сила трения. Поэтому она не тормозит проводник и не гасит колебания, а лишь делает его «тяжелее». Энергия не теряется: в контуре нет сопротивления.

3. Второй закон Ньютона для проводника в проекции на ось \(x\). Сила тяжести и упругость пружин в равновесии уравновешены (\(k\Delta l_0=mg\)), при смещении \(x\) их равнодействующая равна \(-kx\) (закон Гука); добавляется сила Ампера: \[ma=-kx-CB^2l^2\,a\qquad\Rightarrow\qquad (m+CB^2l^2)\,\ddot x=-kx .\] Это уравнение гармонических колебаний с эффективной массой \(m^*=m+CB^2l^2\): \[x=A\cos\omega t,\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m+CB^2l^2}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m+CB^2l^2}{k}}\] (отпустили без начальной скорости, поэтому амплитуда равна начальному смещению \(A\)). Заряд конденсатора и ток меняются вместе со скоростью и ускорением: \(q=-CBlA\omega\sin\omega t\), \(I=-CBlA\omega^2\cos\omega t\).

Ответ. В буквах: гармонические колебания \(x=A\cos\omega t\) с \(\omega=\sqrt{k/(m+CB^2l^2)}\), \(T=2\pi\sqrt{(m+CB^2l^2)/k}\); амплитуда равна начальному смещению, затухания нет. Поле и конденсатор увеличивают период в \(\sqrt{1+CB^2l^2/m}\) раз (на графике \(CB^2l^2=m\), период больше в \(\sqrt2\) раз).

Проверка. Размерность: \(CB^2l^2\) — \(\text{Ф}\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м}^2\); так как \(\text{Тл}\cdot\text{м}^2=\text{Вб}=\text{В}\cdot\text{с}\) и \(\text{Ф}\cdot\text{В}^2=\text{Дж}\), получаем \(\text{Дж}\cdot\text{с}^2/\text{м}^2=\text{кг}\) — масса. Пределы: при \(C\to0\) или \(B\to0\) — обычный пружинный маятник \(T_0=2\pi\sqrt{m/k}\), как в задаче 4; при \(C\to\infty\) (контур замкнут накоротко) период растёт неограниченно: короткозамкнутый контур без сопротивления не даёт меняться потоку, проводник не может сдвинуться. Второй способ — закон сохранения энергии: сумма кинетической энергии, энергии пружин и энергии конденсатора \[\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}+\frac{C\mathcal E^2}{2}=\frac{(m+CB^2l^2)\,v^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=\text{const}\] — энергия конденсатора \(CB^2l^2v^2/2\) имеет вид кинетической с добавочной массой \(CB^2l^2\), откуда тот же период. В книге Слободецкого и Орлова формула частоты напечатана с лишним множителем \(e\) под корнем — опечатка.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.