Самовозбуждающаяся магнитная динамо-машина

ЭДС вращающегося диска в поле \(B\) пропорциональна \(B\omega a^2\), а поле соленоида — току \(i\). Значит, ЭДС пропорциональна току: в уравнении для \(i\) она играет роль «отрицательного сопротивления» и конкурирует с \(R\).

2.1) \(L\dfrac{di}{dt}+Ri=\mathcal E\);  2.2) \(B=\dfrac{\mu_0Ni}{\ell}\);  2.3) \(\mathcal E=\dfrac{\mu_0Na^2\omega}{2\ell}\,i\);  2.4) \(i(t)=i(0)\,e^{\gamma t}\), \(\gamma=\dfrac1L\Bigl(\dfrac{\mu_0Na^2\omega}{2\ell}-R\Bigr)\);  2.5) \(\omega_{\min}=\dfrac{2\ell R}{\mu_0Na^2}\);  2.6) \(\tau=\dfrac{\mu_0Na^2}{2\ell}\,i^2(t)=\dfrac{\mu_0Na^2}{2\ell}\,i^2(0)\,e^{2\gamma t}\).

Что происходит. Диск, вращающийся в продольном магнитном поле, — это униполярный генератор: на каждый свободный заряд в диске действует сила Лоренца \(q\vec v\times\vec B\), направленная вдоль радиуса, и между центром и ободом возникает ЭДС. Поле же создаёт сам ток, текущий по соленоиду. Получается положительная обратная связь: ток \(i\) создаёт поле \(B\propto i\), поле создаёт ЭДС \(\mathcal E\propto B\omega\propto\omega i\), ЭДС поддерживает ток. Если «усиление» \(\propto\omega\) превосходит потери в сопротивлении \(R\), ток нарастает экспоненциально; иначе затухает. Главная идея для момента силы — закон сохранения энергии: мощность внешнего момента идёт на джоулево тепло и рост энергии магнитного поля.

Обозначения. \(i(t)\) — ток в цепи, \(\mathcal E\) — ЭДС между клеммами \(P\) и \(Q\), \(L\), \(R\) — индуктивность и полное сопротивление цепи, \(N\) и \(\ell\) — число витков и длина соленоида, \(a\) — радиус диска, \(\omega\) — его угловая скорость, \(r\) — расстояние до оси. Считаем \(\ell\) много больше диаметра соленоида, а диск находится в его средней части (там поле однородно). Направление вращения такое, что ЭДС поддерживает ток (при противоположном направлении ЭДС противодействует току).

2.1) Цепь состоит из источника (диск) с ЭДС \(\mathcal E\), сопротивления \(R\) и индуктивности \(L\), соединённых последовательно (рис. 2). Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура: сумма напряжений равна нулю; напряжение на индуктивности — \(L\,di/dt\), на сопротивлении — \(Ri\), а ЭДС источника — \(\mathcal E\): \[\boxed{\,L\frac{di}{dt}+Ri=\mathcal E\,}\]

Рис. 2. Эквивалентная схема: ЭДС диска \(\mathcal E=G\omega i\) (с \(G=\mu_0Na^2/(2\ell)\), см. 2.3), сопротивление \(R\) и индуктивность \(L\) соленоида.

2.2) Для длинного соленоида (\(\ell\gg\) диаметра) поле внутри однородно и направлено вдоль оси, снаружи — почти нулевое. Применим закон полного тока к прямоугольному контуру длиной \(s\) вдоль оси, одна сторона которого внутри соленоида, другая — снаружи: циркуляция \(Bs\) равна \(\mu_0\), умноженной на ток через контур; он охватывает \(Ns/\ell\) витков с током \(i\): \[Bs=\mu_0\,\frac{Ns}{\ell}\,i\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,B=\frac{\mu_0Ni}{\ell}\,}\] 2.3) Рассмотрим тонкое кольцо диска между \(r\) и \(r+dr\) (рис. 3). Его элемент движется со скоростью \(v=\omega r\), перпендикулярной радиусу и полю. На заряд \(q\) в нём действует сила \(q\vec v\times\vec B\), направленная вдоль радиуса; она создаёт эффективное электрическое поле \(E_{\text{эфф}}=\omega rB\). Сумма \(E_{\text{эфф}}\,dr\) по радиусу от оси до обода — это и есть ЭДС между осью и ободом (клеммы \(P\) и \(Q\)): \[\mathcal E=\int_0^aB\omega r\,dr=\tfrac12B\omega a^2=\boxed{\,\frac{\mu_0Na^2\omega}{2\ell}\,i\,}\]

Рис. 3. Диск, вид сверху: поле \(\vec B\) направлено к нам, диск вращается против часовой стрелки. Элемент радиуса \(dr\) движется со скоростью \(v=\omega r\), на положительные заряды действует сила \(q\vec v\times\vec B\) вдоль радиуса наружу.

Проверка. Второй способ — закон Фарадея. Радиус диска за время \(dt\) заметает площадь \(\tfrac12a^2\omega\,dt\), значит, поток через контур меняется со скоростью \(\dfrac{d\Phi}{dt}=B\cdot\tfrac12a^2\omega\), то есть ЭДС та же. Введём для краткости \(G\equiv\dfrac{\mu_0Na^2}{2\ell}\): тогда \(\mathcal E=G\omega i\), где \(G\) — величина с размерностью индуктивности (Гн = Тл\(\cdot\)м\(^2\)/А).

2.4) Подставим \(\mathcal E=G\omega i\) в уравнение 2.1: \[L\frac{di}{dt}+Ri=G\omega\,i\quad\Longrightarrow\quad\frac{di}{dt}=\gamma\,i,\qquad\gamma\equiv\frac{G\omega-R}{L}=\frac1L\Bigl(\frac{\mu_0Na^2\omega}{2\ell}-R\Bigr).\] Это уравнение с разделяющимися переменными, \(\dfrac{di}{i}=\gamma\,dt\), откуда \[\boxed{\,i(t)=i(0)\,e^{\gamma t}\,}\]

Рис. 4. Ток в зависимости от времени при трёх значениях угловой скорости: растёт при \(\omega>\omega_{\min}\), постоянен при \(\omega=\omega_{\min}\), затухает при \(\omega<\omega_{\min}\).

2.5) Ток растёт, если \(\gamma>0\), то есть \(G\omega>R\); при \(\gamma<0\) он затухает, при \(\gamma=0\) остаётся постоянным. Отсюда \[\frac{\mu_0Na^2\omega}{2\ell}\ge R\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,\omega_{\min}=\frac{R}{G}=\frac{2\ell R}{\mu_0Na^2}\,}\] (при \(\omega=\omega_{\min}\) ток постоянен, при \(\omega>\omega_{\min}\) растёт).

Проверка. Размерность: \(R/G\) — Ом/Гн = с\(^{-1}\), как у угловой скорости. Смысл: ЭДС диска \(G\omega i\) при \(\omega=\omega_{\min}\) в точности равна падению напряжения \(Ri\) на сопротивлении — индуктивности ничего не остаётся, ток не меняется. Для примера: при \(N=10^3\), \(\ell=1\) м, \(a=0{,}1\) м, \(R=0{,}1\) Ом получаем \(G\approx6\cdot10^{-6}\) Гн и \(\omega_{\min}\approx1{,}6\cdot10^4\) с\(^{-1}\) — очень быстрое вращение (около \(1{,}5\cdot10^5\) об/мин), поэтому такому генератору нужны малое \(R\) и большое \(G\).

2.6) Чтобы \(\omega\) оставалась постоянной, момент внешней силы должен уравновешивать момент сил Ампера, действующих на ток в диске (рис. 5). Ток \(i\) течёт по диску вдоль радиуса, в поле \(\vec B\). На элемент длины \(\delta r\) действует сила Ампера \[\delta f=B\,i\,\delta r ,\] перпендикулярная радиусу и направленная против вращения: \(\delta\vec f=i\,\delta\vec r\times\vec B\) даёт тормозящую силу. Её момент относительно оси — \(\delta\tau=r\,\delta f=Bir\,\delta r\). Суммируем по радиусу: \[\tau=\int_0^aBir\,dr=\tfrac12Bia^2=\frac{\mu_0Na^2}{2\ell}\,i^2 .\]

Рис. 5. Радиальный ток \(i\) в диске в поле \(\vec B\): сила Ампера \(\delta\vec f\) перпендикулярна радиусу и направлена против вращения; внешний момент \(\tau\) уравновешивает тормозящий.

Подставляем \(i(t)=i(0)e^{\gamma t}\): \[\boxed{\,\tau(t)=\frac{\mu_0Na^2}{2\ell}\,i^2(t)=\frac{\mu_0Na^2}{2\ell}\,i^2(0)\,e^{2\gamma t}\,}\] Внешний момент направлен по вращению и равен по модулю тормозящему моменту.

Проверка. Второй способ — баланс мощностей. Мощность внешнего момента \(\tau\omega\) идёт на джоулево тепло и на рост энергии магнитного поля соленоида: \[\tau\omega=i^2R+\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12Li^2\Bigr)=i^2R+Li\frac{di}{dt}=i^2R+L\gamma\,i^2=i^2\bigl(R+G\omega-R\bigr)=G\omega\,i^2 ,\] откуда \(\tau=Gi^2\) — то же самое. Кроме того, \(\tau\omega=\mathcal E\,i\): вся механическая мощность превращается в электрическую.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.