Катающиеся цилиндры

Решение

A1.

Точка P, закреплённая на поверхности \(M\), находилась в положении непосредственно под \(O\) в момент времени \(t = 0\). Следовательно, \(m\) должна была прокатиться на угол

\[\frac{\varphi R - \theta R}{r}\]

радиан относительно поверхности \(M\) за время \(t\), в течение которого линия \(OC\) также повернулась против часовой стрелки на угол \(\theta\). Поэтому полное угловое перемещение \(m\) относительно её центра масс по отношению к любой фиксированной линии отсчёта за время \(t\) равно

\[\psi = \frac{\varphi R - \theta R}{r} + \theta = \frac{R}{r} \varphi - \left( \frac{R - r}{r} \right) \theta \qquad(1)\]

Ответ:

\[\psi = \frac{\varphi R - \theta R}{r} + \theta = \frac{R}{r} \varphi - \left( \frac{R - r}{r} \right) \theta\]

A2. Дифференцируя уравнение (1) дважды по времени, получаем

\[\frac{d^2}{dt^2} \psi = \frac{R}{r} \frac{d^2}{dt^2} \varphi - \left( \frac{R - r}{r} \right) \frac{d^2}{dt^2} \theta \qquad(2)\]

Ответ:

\[\frac{d^2}{dt^2} \psi = \frac{R}{r} \frac{d^2}{dt^2} \varphi - \left( \frac{R - r}{r} \right) \frac{d^2}{dt^2} \theta\]

A3.

Уравнения движения центра масс \(m\):

\[m(R-r)\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\theta = \ell - mg\sin\theta \qquad(3)\]\[m\biggl{(}\frac{d}{dt}\,\theta\biggr{)}^{2}(R-r) = N - mg\cos\theta \qquad(4)\]Уравнение вращения \(m\) относительно центра масс:

\[I_{\rm CM}\frac{d^{2}}{dt^{2}}\psi = I_{\rm CM}\biggl{[}\frac{R}{r}\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\varphi - \biggl{(} \frac{R-r}{r}\biggr{)}\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\theta\biggr{]}\ =\ fr \qquad(5)\]где \(I_{\rm CM} = \frac{1}{2}\,mr^{2}\).

Из уравнений (3) и (5) получаем:

\[\biggl{(}\,m + \frac{I_{\rm CM}}{r^{2}}\,\biggr{)}(R-r)\frac{d^{2}}{dt^{2}}\, \theta = -mg\sin\theta + \frac{I_{\rm CM}R}{r^{2}}\,\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\varphi \qquad(6)\]

Ответ:

\[\biggl{(}\,m + \frac{I_{\rm CM}}{r^{2}}\,\biggr{)}(R-r)\frac{d^{2}}{dt^{2}}\, \theta = -mg\sin\theta + \frac{I_{\rm CM}R}{r^{2}}\,\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\varphi\]

A4. В рассматриваемом приближении \(\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\varphi = 0\), \(\sin\theta \approx \theta\) и \(I_{\rm CM} = \frac{1}{2}\,mr^{2}\). Уравнение (6) упрощается до:

\[\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\theta = -\frac{2g}{3(R-r)}\,\theta \qquad(7)\]Отсюда период колебаний:

\[T\ =\ 2\pi\sqrt{\frac{3(R-r)}{2\,g}} \qquad(8)\]

Ответ:

\[T\ =\ 2\pi\sqrt{\frac{3(R-r)}{2\,g}}\]

A5. Положение равновесия \(m\) в пункте \(A4\) соответствует \(\theta = 0\).

Ответ:

\[\theta=0\]

A6. Для случая вращения \(M\) с постоянным угловым ускорением \(\alpha\) положение равновесия найдём из уравнения (6):

\[\frac{3}{2}\bigl{(}R-r\bigr{)}\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\theta = -g\sin\theta + \frac{R}{2}\alpha \qquad(9)\]Пусть \(\theta_{\rm eq}\) - положение равновесия. В этом случае \(\frac{d^{2}}{dt^{2}}\,\theta_{\rm eq} = 0\), и

Ответ:

\[\theta_{\rm eq} =\arcsin\left(\dfrac{R\alpha}{2g}\right)\]

A7.

Из уравнения (1), с учетом изменения положительного направления изменения \(\psi\) и \(\varphi\), получаем:

\[\frac{d}{d t} \psi=\frac{R}{r} \frac{d}{d t} \varphi+\left(\frac{R-r}{r}\right) \frac{d}{d t} \theta \qquad(11)\]

Уравнения движения тел \(m\) и \(M\) имеют вид:

\[\begin{align*} & \frac{1}{2} m r^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \psi=-f r \qquad(12)\\ & M R^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \varphi=+f R \qquad(13) \end{align*}\]

Первое решение (закон изменения момента импульса)

Запишем закон изменения момента импульса:

\[\frac{d}{d t}\left[M R^{2} \frac{d}{d t} \varphi+\frac{1}{2} m r^{2} \frac{d}{d t} \psi-m(R-r)^{2} \frac{d}{d t} \theta\right]=+m g(R-r) \sin \theta \qquad(14.1)\]

Следовательно, \[\dfrac{d^{2}}{d t^{2}} \varphi=-\frac{m(R-r)}{(2 M+m) R} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta\qquad(15.1),\] а также:

\[\left(M R+\frac{1}{2} m r\right) R \frac{d^{2}}{d t^{2}} \varphi-m(R-r)\left(R-\frac{3}{2} r\right) \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=m g(R-r) \sin \theta\qquad(16.1)\]Решая совместно два предыдущих уравнения, получим:

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-\frac{g}{(R-r)} \frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \sin \theta \qquad(17.1)\]

В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-\frac{g}{(R-r)} \frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \theta \qquad(18.1)\]

Выразим период колебаний:

\[T=2 \pi \sqrt{\left(\frac{R-r}{g}\right)\left(\frac{3 M+m}{2 M+m}\right)}\]

Второе решение (силовое)

Запишем второй закон Ньютона:

\[m g \sin \theta-f=m a\]

\[m g \sin \theta-f=-m(R-r) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \qquad(14.2)\]

Из уравнения (13): \[\quad f=M R \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}\]Подставляя это в уравнение (14.2), получаем:

\[m g \sin \theta=M R \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}-m(R-r) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \qquad(15.2)\]

Из уравнений (11), (12) и (13) получаем:

\[\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=-\frac{m}{2 M+m}\left(\frac{R-r}{R}\right) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \qquad(16.2)\]

Тогда (15.2) принимает вид: \[\quad m g \sin \theta=-\frac{M m}{2 M+m}(R-r) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-m(R-r) \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\]

\[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=-\frac{g}{(R-r)} \frac{2 M+m}{3 M+m} \sin \theta \qquad(17.2)\]

В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-\frac{g}{(R-r)} \frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \theta \qquad(18.2)\]

Выражение для периода колебаний:

\[T=2 \pi \sqrt{\left(\frac{R-r}{g}\right)\left(\frac{3 M+m}{2 M+m}\right)}\]

Третье решение (энергетическое)

Полная механическая энергия системы задаётся выражением:

\[E=\frac{1}{2} M R^{2}\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} m r^{2}\right)\left(\frac{d \psi}{d t}\right)^{2}+\frac{1}{2} m\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2}(R-r)^{2}+m g(R-r)(1-\cos \theta) \qquad(14.3)\]

Используем закон сохранения механической энергии:

\[\frac{d E}{d t}=M R^{2}\left(\frac{d \varphi}{d t}\right)\left(\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2} m r^{2}\right)\left(\frac{d \psi}{d t}\right)\left(\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}\right)+m\left(\frac{d \theta}{d t}\right)\left(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\right)(R-r)^{2}+m g(R-r)\left(\frac{d \theta}{d t}\right) \sin \theta=0\qquad(15.3)\]

Применяя уравнения (11), (12) и (13), получаем:

\[\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=-\frac{R-r}{R} \frac{m}{2 M+m} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \quad \text { и } \quad \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}=\frac{R-r}{r} \frac{2 M}{2 M+m} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \qquad(16.3)\]

Без потери общности, мы можем проинтегрировать оба уравнения и получить:

\[\frac{d \varphi}{d t}=-\frac{R-r}{R} \frac{m}{2 M+m} \frac{d \theta}{d t} \text { и } \frac{d \psi}{d t}=\frac{R-r}{r} \frac{2 M}{2 M+m} \frac{d \theta}{d t} \qquad(17.3)\]

при условии, что все тела имеют нулевые линейные и угловые скорости в один и тот же конкретный момент времени. Подставляя эти соотношения в уравнение выше из закона сохранения энергии, получаем:

\[\left[\frac{M m}{(2 M+m)^{2}}+\frac{2 M^{2}}{(2 M+m)^{2}}+1\right]\left(\frac{d \theta}{d t}\right)\left(\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}\right)(R-r)^{2}=-g(R-r)\left(\frac{d \theta}{d t}\right) \sin \theta \qquad(18.3)\]

Это уравнение должно выполняться в любой момент времени, поэтому мы можем разделить обе части на \(\frac{d \theta}{d t}\). После некоторых упрощений получаем:

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-\frac{g}{(R-r)} \frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \sin \theta \qquad(19.3)\]

В пределе малых амплитуд колебаний предыдущее уравнение упрощается:

\[\frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-\frac{g}{(R-r)} \frac{(2 M+m)}{(3 M+m)} \theta \qquad(20.3)\]

Снова выразим период колебаний:

\[T=2 \pi \sqrt{\left(\frac{R-r}{g}\right)\left(\frac{3 M+m}{2 M+m}\right)}\]

Ответ:

\[T=2 \pi \sqrt{\left(\frac{R-r}{g}\right)\left(\frac{3 M+m}{2 M+m}\right)}\]

Заметим, что хотя может показаться, что у нас больше одной степени свободы, существует только одна мода колебаний, потому что связь с потенциальной энергией осуществляется только через угол \(\theta\). Однако у нас есть свобода наложить любую постоянную угловую скорость \(\dfrac{d \varphi}{d t}\) и \(\dfrac{d \psi}{d t}\) (и условие качения без проскальзывания будет выполняться), и это не изменит период колебаний. Это соответствует свободе выбора различных начальных условий движения системы.

A8. Когда \(M\) вращается равномерно с угловой скоростью \(\Omega\), уравнение (6) принимает вид:

\[\frac{3}{2}(R-r) \frac{d^{2}}{d t^{2}} \theta=-g \sin \theta \qquad(19)\]

что подразумевает, что \(m\) остаётся при \(\theta=0\), если \(m\) не колеблется.

Следовательно, уравнение (1) сводится к:

\[\psi=\frac{R}{r} \varphi\]

и

\[\frac{d}{d t} \psi=\frac{R}{r} \frac{d \varphi}{d t}=\frac{R}{r} \Omega \qquad(20)\]

Это означает, что \(m\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\dfrac{R}{r} \Omega\) до момента остановки \(M\).

После этого момента \(m\) будет ускоряться посредством импульса трения. Этот процесс происходит мгновенно из-за высокого значения коэффициента трения. Для упрощения расчётов мы примем нижнюю поверхность \(M\) плоской.

\(m\) проскальзывает вперёд.

\[\begin{align*} m \frac{d}{d t} v & =+f_{m} \qquad(21)\\ I_{\mathrm{CM}} \frac{d}{d t} \omega & =-f_{m} r, \quad I_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{2} m r^{2} \qquad(22) \end{align*}\]

Решая два последних уравнения для \(v(t)\) и \(\omega(t)\) с начальными условиями \(v(0)=0\) и \(\omega(0)=\dfrac{R}{r} \Omega\) и накладывая условие \(v^{\prime}(t)=\omega^{\prime}(t) r\) для начала качения без проскальзывания, получаем:

\[v^{\prime}=\frac{1}{3} R \Omega, \quad \omega^{\prime}=\frac{1}{3} \frac{R}{r} \Omega \qquad(23)\]

Запишем ЗСЭ для движения без проскальзывания:

\[\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{\mathrm{CM}} \omega^{2}+2 m g(R-r)=\frac{1}{2} m v^{\prime 2}+\frac{1}{2} I_{\mathrm{CM}} \omega^{2} \qquad(24)\]

Также имеем \(\quad N=m \dfrac{v^{2}}{R-r}-m g\)

\[\therefore \quad N=\left(\frac{m}{R-r}\right)\left(\frac{R \Omega}{3}\right)^{2}-\frac{11}{3} m g \qquad(25)\]

\(m\) достигнет вершины, если \(N \geq 0\).

Следовательно:

\[\Omega \geq \sqrt{33 g\left(\frac{R-r}{R^{2}}\right)} \qquad(26)\]

Ответ:

\[\Omega \geq \sqrt{33 g\left(\frac{R-r}{R^{2}}\right)}\]

Перевод: pho.rs.