Два цилиндра

Если проскальзывания нет, дуги качения равны; найдите, под каким углом к горизонту движется тело. Для проскальзывания сравните силу трения с силой реакции, учитывая, что сумма сил реакции и трения направлена перпендикулярно отрезку от оси большего цилиндра до тела.

Если проскальзывания нет, то длина дуги \(AB\) равна длине дуги \(BD\) (и \(OE\)). Так как радиусы цилиндров различаются в два раза, то \(\angle OCE = 2\angle AOB\). Треугольник \(OCE\) равнобедренный, поэтому \(\angle COE = 90^\circ - \angle AOB\), а значит \(\angle AOE = 90^\circ\). Тело всегда находится на перпендикуляре к \(OA\), то есть движется по прямой, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом.

1. Запишем закон сохранения энергии для тела, движущегося по прямой. Пусть оно сместилось на расстояние \(l\) вдоль прямой \(OE\). Тогда изменение высоты \(\Delta h = -l\sin\alpha\), и \(0 = -mgl\sin\alpha + \dfrac{mv^2}{2}\). Ускорение постоянно и равно \[a = g\sin\alpha.\]

2. Изменение высоты тела, когда плоскость \(OC\) вертикальна, равно \(\Delta h = -R\,\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}\). По закону сохранения энергии \[v = \sqrt{2gR}\,\sin\alpha.\]

3. На систему «тело–меньший цилиндр» действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции \(\vec N\) и сила трения \(\vec F_{\text{тр}}\) (рис. 33). Сумма векторов силы реакции и силы трения направлена перпендикулярно \(OE\) и по модулю равна \(mg\cos\alpha\). Тогда \[N = mg\cos\alpha\cos(\alpha+\beta), \qquad F_{\text{тр}} = mg\cos\alpha\sin(\alpha+\beta),\] где \(\beta\) — угол отклонения плоскости \(OC\) от вертикали, отсчитываемый в направлении качения. Условие \(F_{\text{тр}} \le \mu N\) даёт условие отсутствия проскальзывания: \(\mu \ge \mathrm{tg}(\alpha+\beta)\). Чтобы плоскость \(OC\) заняла положение, симметричное начальному, должно быть \(\beta = \alpha\): \[\mu_{\min} = \mathrm{tg}\,2\alpha.\]

4. Проскальзывание начнётся при \(\mathrm{tg}(\alpha+\beta) = \mu\). К этому моменту тело вдоль прямой \(OE\) пройдёт расстояние \[l = R\sin(\alpha+\beta) = \frac{R\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}.\] Из закона сохранения энергии \[v = \sqrt{\frac{2gR\mu\sin\alpha}{\sqrt{1+\mu^2}}}.\] Отметим, что при любом \(\mu\) \(l < R\), то есть проскальзывание всегда начинается раньше, чем тело ударится о поверхность большого цилиндра.