Русалочка

Лучи, ограничивающие дорожку, отражаются от поверхности, наклоненной на угол \(\varphi\) из-за ряби; сделайте угол отражения, затем примените закон преломления на границе вода–воздух для каждого из двух крайних лучей.

Обозначим высоту Луны над горизонтом \(\alpha\), а амплитуду наклона поверхности воды \(\varphi\). Направление лучей, ограничивающих видимую принцем лунную дорожку, определяется углами \(\alpha+2\varphi\) и \(\alpha-2\varphi\): \[\mathrm{tg}(\alpha+2\varphi) = \frac{H}{D_{\text{П}}}, \qquad \mathrm{tg}(\alpha-2\varphi) = \frac{H}{D_{\text{П}}+L_{\text{П}}}.\] Отсюда \[\alpha = \frac{1}{2}\left(\mathrm{arctg}\frac{H}{D_{\text{П}}} + \mathrm{arctg}\frac{H}{D_{\text{П}}+L_{\text{П}}}\right) \approx 0{,}189,\] \[\varphi = \frac{1}{4}\left(\mathrm{arctg}\frac{H}{D_{\text{П}}} - \mathrm{arctg}\frac{H}{D_{\text{П}}+L_{\text{П}}}\right) \approx 0{,}078.\]

Из закона преломления для крайних лучей \[n\cos(\beta_1 - \varphi) = \cos(\alpha-\varphi), \qquad n\cos(\beta_2 + \varphi) = \cos(\alpha+\varphi),\] откуда \[\beta_1 = \arccos\!\left(\frac{\cos(\alpha-\varphi)}{n}\right) + \varphi, \qquad \beta_2 = \arccos\!\left(\frac{\cos(\alpha+\varphi)}{n}\right) - \varphi.\]

Учитывая, что \(\mathrm{tg}\,\beta_1 = \dfrac{H}{D_{\text{Р}}}\) и \(\mathrm{tg}\,\beta_2 = \dfrac{H}{D_{\text{Р}}+L_{\text{Р}}}\), получаем \[D_{\text{Р}} = H\mathrm{ctg}\,\beta_1 \approx 1{,}67~\text{м}, \qquad L_{\text{Р}} = H\mathrm{ctg}\,\beta_2 - D_{\text{Р}} \approx 0{,}48~\text{м}.\]