Зачем нужны диоды

Составьте уравнение для заряда конденсаторов в контуре с индуктивностью и сравните его с уравнением гармонических колебаний; заметьте, что диоды при этом не пропускают ток.

При замыкании ключа в положение 1 конденсаторы подключены к источнику параллельно и заряжаются до напряжения \(U_0\) каждый. Заряд конденсаторов при этом \(q_0 = CU_0\).

После переключения ключа в положение 2 напряжения на \(C_1\) и \(C_3\) уменьшаются, на \(C_2\) — увеличиваются. Потенциал точки \(d\) больше потенциала точки \(a\), а потенциал точки \(b\) больше потенциала точки \(c\), поэтому ток через диоды не течёт.

Пусть в момент времени \(t\) заряд конденсаторов \(C_1\) и \(C_3\) равен \(q(t)\) (\(t = 0\) при переключении ключа в положение 2), \(q(0) = q_0\). Тогда протекший через индуктивность заряд \(\Delta q = q_0 - q\), а на конденсаторе \(C_2\) заряд \(q_2 = 2q_0 - q\). Для контура \(abdca\) \[L\dot I = \frac{q}{C} - \frac{2q_0 - q}{C} + \frac{q}{C}.\] Учитывая, что \(I = -\dot q\), получаем \[L\ddot q + \frac{3}{C}\left(q - \frac{2}{3}q_0\right) = 0.\] Это уравнение гармонических колебаний с \(\omega = \sqrt{\dfrac{3}{LC}}\). Заменив \(q_1 = q - \dfrac{2}{3}q_0\) и учитывая, что \(\ddot q = \ddot q_1\), при \(t=0\) \(q_1(0) = q_0/3\), получаем \[q_1(t) = \frac{q_0}{3}\cos\omega t, \qquad q(t) = \frac{q_0}{3}\left(2 + \cos\omega t\right).\] Ток через индуктивность \[I(t) = -\dot q = \frac{\omega q_0}{3}\sin\omega t,\] то есть график \(I(t)\) — синусоида, симметричная относительно оси времени и выходящая из начала координат. Для заряда конденсатора \(C_2\) \[q_2(t) = q_0\left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3}\cos\omega t\right).\] Ток через индуктивность меняет направление при \(t = T/2\), однако диоды по-прежнему закрыты, так что колебания продолжаются. По истечении полного периода \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}.\] Ток через диоды не течёт, колебания тока гармонические. Напряжение на \(C_1\) и \(C_3\) меняется в пределах от \(U_0/3\) до \(U_0\), на \(C_2\) — в пределах от \(U_0\) до \(5U_0/3\); знаки зарядов на пластинах всех трех конденсаторов не меняются.