Задачи › Плавление и кристаллизация

Вещества X и Y

  1. Вещества X и Y

    ВсОШ 2018/19, 11 кл.
    7/10

    В двух одинаковых сосудах с поршнем при одинаковых давлении \(p_A\) и температуре \(T_A\) находятся одинаковые смеси равных масс \(m\) жидкой и твердой фаз вещества X. При этом плотность твердой фазы на 20% больше плотности жидкой фазы \(\rho_X\). Не изменяя внешнего давления, к первому сосуду медленно подводят известное количество теплоты \(Q_1\). В этом процессе масса твердой фазы уменьшается вдвое. Затем, обеспечив надежную теплоизоляцию сосуда, немного увеличивают внешнее давление. Обозначим это состояние «B».

    Внешние воздействия на второй сосуд проводят в обратном порядке: сначала увеличивают давление, а затем, поддерживая его постоянным, подводят необходимое для перевода в то же состояние B количество теплоты \(Q_2\).

    1. Какое количество теплоты больше, \(Q_1\) или \(Q_2\)?

    2. Определите давление \(p_B\) в состоянии B.

    3. Определите температуру \(T_B\) в состоянии B.

    Этот же эксперимент с двумя сосудами был проведен со смесями равных масс \(m\) жидкой и твердой фаз другого вещества Y, у которого в начальном состоянии C плотность твердой фазы на 20% меньше плотности жидкой фазы \(\rho_Y\). Оказалось, что для изобарического плавления половины твердой фазы Y при переходе из состояния \((p_C, T_C)\) потребовалось подвести количество теплоты \(Q_3\), а для перехода в конечное состояние D во втором сосуде — количество \(Q_4\).

    1. Какое количество теплоты больше, \(Q_3\) или \(Q_4\)?

    2. Определите давление \(p_D\) в состоянии D.

    3. Определите температуру \(T_D\) в состоянии D.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Совместите процесс в первом сосуде с обратным процессом во втором: получится цикл Карно, в котором \(Q_1 - Q_2\) равно работе, а изменение давления выражается через изменение объёма при плавлении.

    Ответ

    1) \(Q_2 > Q_1\);  2) \(p_B = p_A + \dfrac{12\rho_X(Q_2-Q_1)}{m}\);  3) \(T_B = T_A\dfrac{Q_2}{Q_1}\);  4) \(Q_3 > Q_4\);  5) \(p_D = p_C + \dfrac{8\rho_Y(Q_3-Q_4)}{m}\);  6) \(T_D = T_C\dfrac{Q_4}{Q_3}\).

    Решение

    При изобарическом плавлении температура определяется условием равновесия фаз и не меняется. Изменение давления в теплоизолированном сосуде является адиабатическим процессом. Следовательно, если процесс, проведённый в первом сосуде, объединить с обращённым процессом, проведённым во втором сосуде, мы получим цикл Карно. В этом цикле \(Q_1\) — теплота, подведённая от нагревателя, \(Q_2\) — теплота, отданная холодильнику, \(T_A\) — температура нагревателя, \(T_B\) — температура холодильника. Работа цикла \[Q_1 - Q_2 = -(p_B - p_A)\,\Delta V_X < 0,\] где \(\Delta V_X\) — увеличение объёма при плавлении \[\Delta V_X = m\left(\frac{3}{2\rho_X} + \frac{5}{12\rho_X}\right) - m\left(\frac{1}{\rho_X} + \frac{5}{6\rho_X}\right) = \frac{m}{12\rho_X}.\] Отсюда \[p_B = p_A + \frac{Q_2 - Q_1}{\Delta V_X} = p_A + \frac{12\rho_X(Q_2-Q_1)}{m}.\] Из коэффициента полезного действия цикла Карно \[\eta = \frac{T_A - T_B}{T_A} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}\] находим \[T_B = T_A\,\frac{Q_2}{Q_1} > T_A.\]

    Аналогично для вещества Y: \[\Delta V_Y = m\left(\frac{3}{2\rho_Y} + \frac{5}{8\rho_Y}\right) - m\left(\frac{1}{\rho_Y} + \frac{5}{4\rho_Y}\right) = -\frac{m}{8\rho_Y},\] \[Q_3 - Q_4 = -(p_D - p_C)\,\Delta V_Y > 0, \qquad p_D = p_C + \frac{8\rho_Y(Q_3-Q_4)}{m},\] \[T_D = T_C\,\frac{Q_4}{Q_3} < T_C.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх