Ледяная крупа

Капля падает с постоянной скоростью, поэтому время пропорционально пройденной высоте, а тепло, полученное от воздуха, — площади между графиком температуры и осью высоты. Плавление и замерзание идут при \(0\,{}^\circ\)C.

a) \(\eta=A'/A=0{,}80\) (замерзает 80 % массы);  b) \(T_d\approx 7{,}9\,{}^\circ\)C (\(\approx 8{,}0\,{}^\circ\)C с учётом нагрева за счёт вязкого трения).

Что происходит. Размер капли и плотность воздуха постоянны, поэтому сила сопротивления уравновешивает тяжесть, и капля падает с постоянной скоростью \(v\). Значит, время падения пропорционально пройденной высоте, и тепло, полученное каплей от воздуха, пропорционально площади между графиком \(T(h)\) и осью \(h\). Пока в капле есть и лёд, и вода, её температура равна \(0\,{}^\circ\)C. Главная идея: одно и то же число \(\kappa/v\) связывает площадь под графиком с теплом и в слое плавления, и в слое замерзания.

Обозначения. \(m\) — масса капли, \(v\) — скорость падения, \(T(h)\) — температура воздуха на высоте \(h\), \(T_d\) — температура капли. Для малой разности температур мощность теплообмена пропорциональна ей: \[\frac{dQ}{dt}=\kappa\,(T-T_d),\] где \(\kappa\) зависит от формы капли, её скорости и плотности воздуха, то есть постоянна. Площади измеряем в км\(\cdot{}^\circ\)C: \(A\) — площадь между профилем и осью \(h\) в слое \(h_B<h<h_A\), где \(T>0\), а \(A'\) — в слое \(0<h<h_B\), где \(T<0\). По рисунку 1: \(h_A=4\) км, \(h_B=1{,}5\) км.

Рис. 2. Площадь \(A\) (слой плавления) и площадь \(A'\) (слой замерзания) на профиле температуры.

a) Доля замёрзшей массы. Между \(h_A\) и \(h_B\) в капле есть лёд, поэтому \(T_d=0\,{}^\circ\)C, а воздух теплее: капля получает тепло и тает. За малый промежуток времени \(dt\), за который высота уменьшается на \(dh=-v\,dt\), она получает \[dQ=\kappa\,(T-0)\,dt=-\kappa\,T\,\frac{dh}{v}.\] Просуммируем по всему слою от \(h_A\) до \(h_B\): \[Q=\frac{\kappa}{v}\int_{h_B}^{h_A}T\,dh=\frac{\kappa A}{v}.\] Площадь \(A\) — это треугольник с вершинами \((0;\,4)\), \((4;\,2)\), \((0;\,1{,}5)\) на рисунке 2: основание на оси \(h\) равно \(4-1{,}5=2{,}5\) км, высота равна \(4\,{}^\circ\)C, так что \[A=\frac12\cdot 2{,}5\cdot 4=5{,}0~\text{км}\cdot{}^\circ\text{C}.\] По условию капля почти полностью тает, значит всё это тепло ушло на плавление всей массы: \[\frac{\kappa A}{v}=mL\quad\Longrightarrow\quad \frac{\kappa}{v}=\frac{mL}{A}.\]

Ниже \(h_B\) капля — смесь воды и льда при \(0\,{}^\circ\)C, а воздух холоднее нуля: тепло уходит из капли, и вода замерзает. Пусть замёрзла масса \(\eta m\). Тем же рассуждением, с \(T<0\): \[Q'=\frac{\kappa}{v}\int_{0}^{h_B}(0-T)\,dh=\frac{\kappa A'}{v}=\eta\,mL .\] Площадь \(A'\) найдём по двум линейным участкам профиля. На высотах от 0 до 1 км температура меняется от \(-2\) до \(-4\,{}^\circ\)C, средняя равна \(-3\,{}^\circ\)C, вклад \(3\cdot 1=3\). От 1 до 1,5 км температура меняется от \(-4\) до \(0\,{}^\circ\)C, средняя равна \(-2\,{}^\circ\)C, вклад \(2\cdot 0{,}5=1\). Итого \(A'=4{,}0\) км\(\cdot{}^\circ\)C.

Подставим \(\kappa/v=mL/A\) в выражение для \(Q'\): \[\frac{mL}{A}\,A'=\eta\,mL\quad\Longrightarrow\quad \eta=\frac{A'}{A}=\frac{4{,}0}{5{,}0}=0{,}80 .\]

Рис. 3. Состав капли на разных высотах: плавление до \(h_B\) и частичное замерзание после (доли отложены по массе капли).

Обратите внимание: \(\eta<1\), то есть замёрзли 80 % массы, а 20 % остаются водой. Смесь льда и воды всё время держит температуру \(0\,{}^\circ\)C, и это предположение выполнено. Если бы выходило \(\eta>1\), вся вода замёрзла бы, капля остыла бы ниже \(0\,{}^\circ\)C, и формула перестала бы работать.

Теплота, нужная льду, чтобы нагреться до \(0\,{}^\circ\)C вблизи \(h_A\), мала: длина, на которой температура капли подстраивается под воздух, равна \(c_{\text{льда}}A/L\approx 0{,}03\) км (подробнее — в пункте b), то есть много меньше километровых слоёв.

b) Температура капли у земли без инверсии. Теперь профиль ниже 4 км — прямая, проходящая через \((0;\,4)\) и \((8;\,0)\): \[T=8-2h\quad(T\ \text{в }{}^\circ\text{C},\ h\ \text{в км}).\] Капля, её скорость и плотность воздуха те же, поэтому \(\kappa/v=mL/A\) с прежним \(A=5{,}0\) км\(\cdot{}^\circ\)C. Пока в капле есть лёд, \(T_d=0\,{}^\circ\)C и тепло накапливается как \(\kappa\int T\,dh/v\); для полного плавления нужно \(mL\). Значит, плавление закончится, когда площадь под профилем от \(h_A\) до текущей высоты \(h_m\) станет равной \(A=5{,}0\) км\(\cdot{}^\circ\)C: \[\int_{h_m}^{4}(8-2h)\,dh=(4-h_m)^2=5\quad\Longrightarrow\quad h_m=4-\sqrt5\approx 1{,}76~\text{км}.\] Температура воздуха на этой высоте \(T_m=8-2h_m=2\sqrt5\approx4{,}47\,{}^\circ\)C.

Рис. 4. Без инверсии: площадь \(A=5{,}0\) накапливается между \(h_A\) и \(h_m\), где вся масса растаяла.

Ниже \(h_m\) капля — вода при температуре, близкой к воздуху, но с запаздыванием. Введём координату \(x\), отсчитанную вниз от \(h_m\): \(x=h_m-h\), \(dt=dx/v\). Температура воздуха на этой оси \(T=T_m+bx\), где \(b=2\,{}^\circ\text{C}/\text{км}\). Теплоёмкость воды \(c=c_{\text{воды}}\). Запишем уравнение теплового баланса капли за малое \(dt\) (тепло от воздуха идёт на нагрев воды): \[mc\,dT_d=\kappa\,(T-T_d)\,dt\quad\Longrightarrow\quad mcv\,\frac{dT_d}{dx}=\kappa\,(T-T_d).\] Нужна разность \(\Delta T=T-T_d\). Её производная по \(x\): \[\frac{d\Delta T}{dx}=b-\frac{dT_d}{dx}=b-\frac{\Delta T}{x_0},\qquad x_0=\frac{mcv}{\kappa}.\] Длину \(x_0\) выразим через уже известное \(\kappa/v=mL/A\): \[x_0=mc\,\frac{v}{\kappa}=mc\,\frac{A}{mL}=\frac{cA}{L}=\frac{4{,}2\cdot 5{,}0}{334}~\text{км}\approx 0{,}063~\text{км}.\] Решение уравнения \(\Delta T'=b-\Delta T/x_0\) — постоянная плюс затухающая экспонента (подстановка подтверждает): \[\Delta T=bx_0+C\,e^{-x/x_0}.\] В начале (\(x=0\)) капля только что растаяла, \(T_d=0\), поэтому \(\Delta T(0)=T_m\) и \(C=T_m-bx_0\approx 4{,}35\,{}^\circ\)C.

Рис. 5. Разность \(\Delta T\) температуры воздуха и капли в зависимости от пройденного пути \(x\) после полного таяния.

До земли ещё \(x=h_m=1{,}76\) км \(\approx 28\,x_0\). Экспонента там порядка \(e^{-28}\approx 10^{-12}\), то есть исчезает полностью, и разность температур равна своему установившемуся значению: \[\Delta T=bx_0=2\cdot 0{,}063\approx 0{,}13\,{}^\circ\text{C}.\] Температура воздуха у земли \(T(0)=8\,{}^\circ\)C, значит \[T_d=8-0{,}13\approx 7{,}9\,{}^\circ\text{C}.\]

Рис. 6. Температура воздуха \(T\) и температура капли \(T_d\) на первых 0,4 км после таяния: капля подтягивается к воздуху и дальше идёт параллельно ему с отставанием \(bx_0\).

Обратите внимание: капля не просто повторяет температуру воздуха, а отстаёт от неё на постоянную величину \(bx_0\). Воздух теплеет вниз на \(b\) градусов на километр, а капля подстраивается на длине \(x_0\), поэтому всегда запаздывает на \(bx_0\).

Замечание. При падении с постоянной скоростью потенциальная энергия капли переходит в тепло. Оценим, на сколько она «подогревает» воздух вокруг капли: мощность \(mgv\) уносится воздухом, \(mgv=\kappa\,\Delta T^*\). Отсюда \(\Delta T^*=mgv/\kappa=gA/L=9{,}8\cdot5000/334\,000\approx 0{,}15\,{}^\circ\)C (в официальном решении написано \(0{,}17\,{}^\circ\)C — это арифметическая неточность), и с обеими поправками \(T_d\approx 7{,}87+0{,}15\approx 8{,}0\,{}^\circ\)C. В основной ответ эту поправку не включаем.

Проверка. Размерность: \(cA/L\) — (Дж/(кг\(\cdot\)К))\(\cdot\)(м\(\cdot\)К)/(Дж/кг) = м, это длина. Предел: при \(\kappa\to\infty\) имеем \(x_0\to0\), \(\Delta T\to0\): капля мгновенно принимает температуру воздуха и \(T_d=8\,{}^\circ\)C. Второй способ для \(\Delta T\): в установившемся режиме \(dT_d/dx=b\), поэтому \(mcvb=\kappa\Delta T\), и \(\Delta T=bx_0\), как получено. В пункте a) проверка — смысл: площадь под графиком в слое замерзания составляет \(80\,\%\) площади в слое плавления, и ровно такая же доля воды замерзает.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.