Водяной шланг

Подсказка

Все траектории воды, вылетевшей из сопла с одной скоростью под разными углами, лежат под одной параболой — огибающей семейства, а её фокус находится в сопле. Струя в любой момент касается этой параболы хотя бы в одной точке.

Ответ

\(v=\sqrt{g\,\max\bigl(y+\sqrt{x^2+y^2}\bigr)}\); по рисунку наибольшее значение \(y+\sqrt{x^2+y^2}\approx14{,}6\) м достигается в точке \(P\approx(10{,}8;\ 3{,}3)\) м, откуда \(v\approx12\) м/с.

Решение

Что происходит. Каждая порция воды после вылета летит по своей параболе: скорость \(v\) одинакова, а угол вылета у каждой порции свой, потому что шланг поворачивали. Форма струи на рисунке — это положение порций, вылетевших в разные моменты, в один и тот же момент времени. Все точки, которых вода вообще может достичь, лежат под одной параболой — огибающей семейства траекторий. Каждая траектория касается её, а непрерывная струя обязана коснуться огибающей хотя бы в одной точке. По положению этой точки касания и находим \(v\).

Обозначения. \(O\) — сопло, начало координат; ось \(x\) горизонтальна, ось \(y\) вертикальна вверх; \(\alpha\) — угол вылета над горизонтом (\(\alpha\ge45^\circ\)); \(H=\dfrac{v^2}{2g}\) — высота подъёма воды, брошенной вертикально; \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) — расстояние от точки до сопла.

1. Огибающая траекторий. Порция, вылетевшая под углом \(\alpha\), движется по закону \(x=vt\cos\alpha\), \(y=vt\sin\alpha-\tfrac12\,gt^2\). Исключим время: \[y=x\tan\alpha-\frac{g\,x^2}{2v^2}\,\bigl(1+\tan^2\alpha\bigr).\] Для заданной точки \((x,\,y)\) это квадратное уравнение относительно \(\tan\alpha\): \[g\,x^2\tan^2\alpha-2v^2x\tan\alpha+\bigl(2v^2y+gx^2\bigr)=0 .\] Точка достижима, если у уравнения есть решение, то есть дискриминант неотрицателен: \(v^4x^2-gx^2\,(2v^2y+gx^2)\ge0\). Отсюда \[y\le\frac{v^2}{2g}-\frac{g\,x^2}{2v^2}=H-\frac{g}{2v^2}\,x^2 .\] Граница достижимой области — парабола, на которой дискриминант равен нулю; её и называют огибающей. На ней уравнение имеет один (двойной) корень \(\tan\alpha=\dfrac{v^2}{gx}\), то есть траектория с таким углом вылета касается огибающей в точке с абсциссой \(x_t=\dfrac{v^2}{g\tan\alpha}=\dfrac{2H}{\tan\alpha}\).

Рис. 2. Траектории при углах вылета \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(75^\circ\) и \(90^\circ\) и огибающая (чёрная). Точки — места касания; траектория под \(45^\circ\) касается огибающей на земле, в точке \(x=v^2/g\).

2. Свойство огибающей: расстояние до сопла. Покажем, что фокус параболы — в точке \(O\), а директриса — горизонталь \(y=2H=\dfrac{v^2}{g}\). Для точки огибающей \(y=H-kx^2\), где \(k=\dfrac{g}{2v^2}\), причём \(2Hk=\dfrac12\). Тогда \[r^2=x^2+(H-kx^2)^2=H^2+\frac{x^2}{2}+k^2x^4=(H+kx^2)^2,\qquad\text{то есть}\quad r=H+kx^2=2H-y .\] Значит, расстояние от точки огибающей до сопла равно расстоянию до прямой \(y=2H\): \[y+r=2H=\frac{v^2}{g}\qquad\text{на огибающей}.\] Для точек под огибающей \(y+r<2H\): при фиксированном \(x\) величина \(y+\sqrt{x^2+y^2}\) растёт с \(y\), а огибающая — верхняя граница по \(y\).

Рис. 3. Огибающая: расстояние от \(P\) до сопла \(O\) равно расстоянию от \(P\) до директрисы \(y=2H\).

3. Струя касается огибающей. Порция воды, вылетевшая под углом \(\alpha\ge45^\circ\), касается огибающей в точке \(x_t=\dfrac{2H}{\tan\alpha}\), на высоте \[y_t=H-kx_t^2=H\Bigl(1-\frac{1}{\tan^2\alpha}\Bigr)\ge0 ,\] поскольку \(\tan\alpha\ge1\). Точка касания лежит в воздухе или на земле, не под землёй, так что каждая порция действительно её проходит. Свежие порции у сопла ещё не дошли до своей точки касания и лежат под огибающей. Порции, вылетевшие давно, уже прошли её и снова лежат под огибающей. Струя — непрерывная кривая, значит, найдётся порция, которая именно сейчас находится на огибающей, в точке \(P\). Во всех остальных точках струя под огибающей, поэтому в \(P\) величина \(y+r\) вдоль струи максимальна: \[\max_{\text{по струе}}\bigl(y+\sqrt{x^2+y^2}\bigr)=\frac{v^2}{g}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{g\,\max\bigl(y+\sqrt{x^2+y^2}\bigr)} .\]

Рис. 4. Струя с рисунка 1 и огибающая с найденной скоростью: касание в точке \(P\). Штриховая линия — \(OP\).

4. Измерение по рисунку. Снимем с рисунка 1 координаты нескольких точек струи (первая строка — её самая высокая точка, остальные — на верхней ветви петли, которая подходит к огибающей ближе всего) и вычислим для них \(y+\sqrt{x^2+y^2}\):

Максимум — около точки \(P\approx(10{,}8;\ 3{,}3)\) м, он плоский: положение \(P\) определено с точностью порядка \(0{,}3\) м, а значение максимума — с точностью порядка \(0{,}05\) м (\(14{,}6\)–\(14{,}7\) м). Тогда \[\frac{v^2}{g}\approx14{,}65~\text{м},\qquad v=\sqrt{9{,}8\cdot14{,}65}~\text{м/с}\approx12~\text{м/с}.\] Найденная скорость даёт параметры огибающей: \(H=\dfrac{v^2}{2g}\approx7{,}3\) м, дальность броска под \(45^\circ\) равна \(\dfrac{v^2}{g}\approx14{,}6\) м.

Рис. 5. Величина \(y+\sqrt{x^2+y^2}\) вдоль струи (по длине дуги \(s\) от сопла): она нигде не превышает \(2H\approx14{,}65\) м и достигает этого значения в точке \(P\).

Обратите внимание: скорость нельзя найти по самой высокой точке струи. Она находится на высоте \(4{,}9\) м, и формула \(v=\sqrt{2gh}\) дала бы \(v\approx9{,}8\) м/с, но так связаны скорость и высота только у порции, брошенной вертикально. Самая высокая точка струи принадлежит порции, летящей под углом меньше \(90^\circ\): её максимальная высота меньше \(H\). Условие \(\alpha\ge45^\circ\) тоже существенно: при меньших углах касание с огибающей могло бы лежать под землёй, и струя не обязана была бы её касаться.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{g\cdot(\text{м})}\) — м/с. Второй способ — наклон в точке касания. Наклон огибающей в \(P\): \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{g\,x_P}{v^2}=-\dfrac{10{,}8}{14{,}6}\approx-0{,}74\). Наклон струи по рисунку в \(P\) равен \(-0{,}73\pm0{,}02\): касание подтверждено. То же свойство фокуса: угол между касательной и вертикалью равен углу между касательной и прямой \(OP\) (отражённый вертикальный луч идёт в фокус). Касательная идёт под углом \(\arctan 0{,}74\approx36{,}5^\circ\) вниз от горизонтали, то есть \(90^\circ-36{,}5^\circ=53{,}5^\circ\) от вертикали; прямая \(OP\) имеет наклон \(\arctan(3{,}3/10{,}8)\approx17^\circ\), значит, от касательной её отделяют \(17^\circ+36{,}5^\circ\approx53{,}5^\circ\): углы равны. Смысл: вода, вылетевшая со скоростью \(v\), не поднимается выше огибающей, и скорость определяет та единственная точка струи, которая сейчас достаёт до этой границы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.