Дело — труба!

Тепловой поток через лёд и воду одинаков, поэтому отношение их длин определяется отношением разностей температур и коэффициентов теплопроводности. Затем используйте сохранение массы воды и льда.

Пусть в первом случае столб воды имеет длину \(L_{\text{в}}\), а столб льда \(L_{\text{л}}\). Тогда: \[L_{\text{в}} + L_{\text{л}} = L_2 . \qquad (1)\] Так как масса содержимого между поршнями постоянна: \[L_{\text{в}}\rho_{\text{в}} + L_{\text{л}}\rho_{\text{л}} = L_1\rho_{\text{в}} . \qquad (2)\] Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то: \[\frac{kS(t_2 - t_0)}{L_{\text{в}}} = \frac{4kS(t_0 - t_1)}{L_{\text{л}}}, \qquad \text{где } t_0 = 0\,^{\circ}\text{C} . \qquad (3)\] Из уравнения (3) с учётом заданных температур находим, что \(L_{\text{л}} = 10L_{\text{в}}\). Из уравнений (1) и (2) получим: \(L_{\text{в}} = 8\) см и \(L_2 = 11L_{\text{в}} = 88\) см.

Тепловой поток \(P\) через каждое сечение одинаков: \[P = \frac{kS(t'_2 - t'_1)}{\Delta L} ,\] где \(t'_1\), \(t'_2\) — температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной \(\Delta L\). Отсюда \(t'_2 - t'_1 = \dfrac{P\,\Delta L}{kS}\), то есть \(\Delta t \sim \Delta L\). Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру (лёд \(t_{\text{л}} = -20\,^{\circ}\text{C}\), вода \(t_{\text{в}} = 8\,^{\circ}\text{C}\)).

После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой. При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты \[Q_1 = L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}}c_{\text{в}}t_{\text{в}} = 33\,600\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты \[Q_2 = 10L_{\text{в}}S\cdot 0{,}9\rho_{\text{в}}\,c_{\text{л}}\,(0 - t_{\text{л}}) = 378\,000\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Следовательно, вода точно охладится до \(0\,^{\circ}\text{C}\) и начнёт замерзать. При замерзании выделится количество теплоты \[Q_3 = \lambda L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} = 330\,000\,L_{\text{в}}S\rho_{\text{в}} .\] Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лёд до температуры плавления. Следовательно, вся вода замерзнет. Тогда: \[L_3 = \frac{10}{9}L_1 \approx 88{,}9~\text{см}.\]