Бусинка на кольце

Кольцо отрывается, когда сила реакции плоскости обращается в ноль. Запишите закон сохранения энергии и второй закон Ньютона для бусинки в проекции на радиус.

В силу симметрии системы при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы \(N_1 = 0\) (рис. 17). Это возможно, если силы реакции со стороны бусинок на кольцо \(N\) направлены от центра. К этому моменту времени каждая из бусинок сместится от вертикали на угол \(\alpha\) (рис. 18). Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение: \[\frac{mv^2}{R} = N + mg\cos\alpha ,\] где \(N\) — сила, действующая на бусинку со стороны кольца.

Согласно закону сохранения энергии верно равенство: \[\frac{mv^2}{2} = mgR(1 - \cos\alpha) .\] Решая совместно эти уравнения, получим: \[N = mg(2 - 3\cos\alpha) .\] Для момента отрыва кольца: \[2N\cos\alpha = Mg .\] Из полученного выражения можно найти отношение \(m/M\): \[\frac{m}{M} = \frac{1}{2(2\cos\alpha - 3\cos^2\alpha)} .\] В знаменателе квадратичная зависимость с максимумом при \(\cos\alpha = 1/3\), при этом \(m/M = 3/2\). Следовательно, отрыв происходит при \[\frac{m}{M} \geqslant \frac{3}{2} .\]