Магнитный шнур

Энергия минимальна тогда, когда шнур максимально «виден» из точки провода; для этого он должен лежать на одной прямой и, в предельном случае, быть вытянутым по прямой в плоскости, перпендикулярной проводу.

Шнур расположится в магнитном поле провода так, чтобы энергия его взаимодействия с полем была минимальна. Суммируя энергии взаимодействия малых элементов шнура с полем, получаем \[W = -k\left(B_1\Delta l_1\cos\varphi_1 + B_2\Delta l_2\cos\varphi_2 + B_3\Delta l_3\cos\varphi_3 + \dots\right),\] где \(k\) одинаков для всех элементов, поскольку шнур однороден. Для индукции поля прямого тока \(B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\), вектор \(\vec B\) направлен по касательной к окружности в плоскости, перпендикулярной проводу. Поэтому весь шнур должен лежать в одной плоскости, перпендикулярной проводу: выход шнура из этой плоскости увеличит углы между его элементами и вектором индукции и энергетически невыгоден. Тогда \[W = -\frac{k\mu_0 I}{2\pi}\left(\frac{\Delta l_1\cos\varphi_1}{r_1} + \frac{\Delta l_2\cos\varphi_2}{r_2} + \dots\right).\] Минимуму энергии отвечает максимум выражения в скобках. Каждое слагаемое в скобках равно углу \(\Delta\alpha_i\), под которым виден элемент шнура из точки провода, поэтому сумма — угол \(\alpha\), под которым из точки провода виден весь шнур. Угол \(\alpha\) максимален, когда сам шнур и отрезок, соединяющий его свободный конец с проводом, перпендикулярны, и шнур вытянут в прямую.

1. Шнур натянут по прямой, поэтому расстояние между его концами равно длине шнура \(l\).

2. Расстояние от провода до свободного конца шнура при этом \[x = \sqrt{l_1^2 - l^2}.\]