Диполь в магнитном поле

Сложите силы Лоренца на оба заряда: если скорости зарядов одинаковы, силы взаимно уничтожаются, а при вращении складываются вдоль оси диполя. В пункте (c) проинтегрируйте уравнение движения центра масс по времени: получится сохраняющаяся комбинация скорости центра масс и ориентации диполя.

(a) \(\omega_0 = 0\), \(\vec v_0\parallel Y\) (любой величины и знака);  (b) \(\vec v_0 = -\dfrac{qBd}{2m}\,\hat y\), \(R_c = \dfrac{qBd}{2m|\omega_0|}\), \(x_c = \dfrac{qBd}{2m\omega_0}\), \(y_c = 0\);  (c) \(\omega_{\min} = \dfrac{2qB}{m}\);  (d) \(D = d\)

Что происходит. Магнитное поле работы не совершает, но искривляет движение зарядов. У диполя два заряда разных знаков: если оба движутся с одной скоростью, силы Лоренца на них противоположны и вместе дают нулевую силу, а если диполь вращается, то скорости зарядов противоположны, а силы — одинаково направлены и складываются. Так вращение диполя превращается в силу на его центр масс, а скорость центра масс, в свою очередь, создаёт момент сил, который крутит диполь. Три сценария отличаются тем, как согласованы эти два движения. Главные законы: второй закон Ньютона для центра масс, уравнение моментов относительно центра масс и сохранение энергии.

Обозначения. Ось \(Z\) направлена к нам, так что \(\vec B = B\hat z\) с \(B>0\) (на рисунке поле направлено к нам), \(\omega>0\) — вращение против часовой стрелки. \(\vec r\) — вектор из центра масс (ЦМ) в положительный заряд, \(|\vec r| = d/2\), отрицательный заряд находится в точке \(-\vec r\). \(\vec p = 2q\vec r\) — дипольный момент (от \(-\) к \(+\)), \(|\vec p| = qd\). \(\vec v\) — скорость ЦМ. Скорости зарядов \(\vec v_\pm = \vec v \pm \vec\omega\times\vec r\). Полная масса \(2m\), момент инерции относительно ЦМ \(I = 2m(d/2)^2 = md^2/2\). Уравнения: \(2m\dot{\vec v} = \vec F\), \(I\dot\omega = \tau_z\).

Общие формулы. Сила Лоренца на \(+q\): \(\vec F_+ = q\vec v_+\times\vec B\), на \(-q\): \(\vec F_- = -q\vec v_-\times\vec B\). Суммарная сила \[\vec F = \vec F_+ + \vec F_- = q(\vec v_+ - \vec v_-)\times\vec B = 2q(\vec\omega\times\vec r)\times\vec B .\] Раскроем двойное векторное произведение по тождеству из условия: \((\vec\omega\times\vec r)\times\vec B = \vec r(\vec B\cdot\vec\omega) - \vec\omega(\vec B\cdot\vec r)\). Так как \(\vec B\perp\vec r\), второе слагаемое равно нулю, и \[\vec F = 2q\,\omega B\,\vec r = \omega B\,\vec p. \tag{1}\] Сила на диполь направлена вдоль его оси, а её модуль пропорционален угловой скорости. Момент сил относительно ЦМ: \(\vec\tau = \vec r\times\vec F_+ + (-\vec r)\times\vec F_- = q\,\vec r\times\big((\vec v_++\vec v_-)\times\vec B\big) = 2q\,\vec r\times(\vec v\times\vec B)\). Здесь \(\vec v_+ + \vec v_- = 2\vec v\), а по тождеству \(\vec r\times(\vec v\times\vec B) = \vec v\,(\vec r\cdot\vec B) - \vec B\,(\vec r\cdot\vec v) = -\vec B\,(\vec r\cdot\vec v)\). Итак, \[\vec\tau = -2q\,(\vec r\cdot\vec v)\,\vec B, \qquad I\dot\omega = -2qB\,(\vec r\cdot\vec v). \tag{2}\] Момент зависит только от составляющей скорости ЦМ вдоль диполя.

Рис. 1. Силы Лоренца на заряды: (а) без вращения силы направлены вдоль стержня в разные стороны; (б) при вращении скорости зарядов противоположны, а обе силы направлены в одну сторону.

(a). Нужна нулевая полная сила. Из (1) при \(B\neq0\) это возможно только при \(\omega = 0\): значит, \(\omega_0 = 0\). Если при этом \(\vec v_+ = \vec v_- = \vec v\), то силы \(\vec F_\pm\) равны по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой — вдоль \(\vec v\times\vec B\) (рис. 1а). Чтобы диполь и дальше не вращался, нужен нулевой момент (2): \(\vec r\cdot\vec v = 0\). Диполь направлен вдоль \(X\), поэтому \(\vec v\perp X\), то есть \(\vec v_0\parallel Y\), любой величины и любого знака. Тогда \(\vec v = \text{const}\), сила и момент остаются нулевыми, и движение действительно равномерное и прямолинейное. Если \(\omega_0\neq 0\), сила (1) не равна нулю, и скорость меняется.

Ответ (a). \[\boxed{\,\omega_0 = 0,\qquad \vec v_0\parallel Y\,}\]

(b). Круговое движение ЦМ означает центростремительную силу, а по (1) сила направлена вдоль диполя. Значит, ось диполя всё время проходит через центр окружности, и диполь поворачивается вместе с радиус-вектором ЦМ: угловая скорость вращения диполя \(\omega_0\) равна угловой скорости обращения ЦМ по окружности. Поэтому \[v_0 = |\omega_0|R_c .\] Модуль силы (1): \(F = |\omega_0|\,B\,qd\). Второй закон Ньютона для ЦМ (масса \(2m\)) в проекции на радиус: \[2m\,\frac{v_0^2}{R_c} = |\omega_0|\,B\,qd .\] Подставим \(v_0 = |\omega_0|R_c\): \(2m\,|\omega_0|^2R_c = |\omega_0|\,Bqd\), откуда \[R_c = \frac{qBd}{2m|\omega_0|}, \qquad v_0 = |\omega_0|R_c = \frac{qBd}{2m}.\] Положение центра и направление скорости. Пусть \(\omega_0>0\). Тогда по (1) сила \(\vec F = \omega_0B\vec p\) направлена вдоль \(\vec p\), то есть в \(+X\), и центр окружности лежит на оси \(X\) справа от ЦМ: \((x_c, y_c) = (R_c, 0)\). ЦМ в начале координат — крайняя левая точка окружности; обращается он против часовой стрелки (как вращается диполь), поэтому в этой точке движется вниз: \(\vec v_0 = -v_0\hat y\). Если \(\omega_0<0\), сила направлена против \(\vec p\), центр — слева, \((x_c,y_c) = (-R_c,0)\), обращение по часовой стрелке, и в крайней правой точке скорость снова направлена вниз. Обе возможности записываются одной формулой (рис. 2).

Рис. 2. Движение при \(\omega_0>0\): центр окружности \((x_c,0)\) на оси \(X\), диполь всё время направлен положительным концом к центру, сила \(\vec F\) — центростремительная.

Ответ (b). \[\boxed{\,\vec v_0 = -\frac{qBd}{2m}\,\hat y,\qquad R_c = \frac{qBd}{2m|\omega_0|},\qquad x_c = \frac{qBd}{2m\,\omega_0},\quad y_c = 0\,}\]

Согласованность. Скорость \(v_0 = qBd/(2m)\) не зависит от \(\omega_0\): от угловой скорости зависит только радиус окружности. Проверим согласованность: при движении по окружности \(\vec v\perp\vec r\) (диполь направлен вдоль радиуса, а скорость — по касательной), поэтому момент (2) равен нулю и \(\omega\) остаётся постоянной, как и предполагалось.

(c). Вектор \(\vec p\) вращается с угловой скоростью \(\vec\omega\), то есть \(\dot{\vec p} = \vec\omega\times\vec p\), и сила (1) в векторной форме равна \(\vec F = (\vec\omega\times\vec p)\times\vec B = \dot{\vec p}\times\vec B\). Второй закон Ньютона для ЦМ: \[2m\,\dot{\vec v} = \dot{\vec p}\times\vec B .\] Поле \(\vec B\) постоянно, поэтому правую часть можно записать как производную, и сохраняется величина (обобщённый импульс) \[2m\vec v - \vec p\times\vec B = \text{const}. \tag{3}\] Начальные условия: \(\vec v_0 = 0\), \(\vec p_0 = qd\,\hat x\). Тогда в любой момент \[\vec v = \frac{(\vec p - \vec p_0)\times\vec B}{2m}.\] Пусть диполь развернулся: \(\vec p_1 = -\vec p_0\). Скорость ЦМ в этот момент \[\vec v_1 = -\frac{\vec p_0\times\vec B}{m}, \qquad |\vec v_1| = \frac{qdB}{m},\] и направлена она вдоль \(+Y\) (так как \(\hat x\times\hat z = -\hat y\)).

Магнитное поле работы не совершает, поэтому сохраняется полная кинетическая энергия: вращательная \(\tfrac12I\omega^2\) плюс поступательная \(\tfrac12(2m)v^2\). В начале энергия равна \(\tfrac12I\omega_0^2\), в момент разворота \(\tfrac12I\omega_1^2 + m v_1^2\): \[\tfrac12 I\omega_0^2 = \tfrac12 I\omega_1^2 + m v_1^2 .\] Скорость \(v_1\) определена из (3) и от \(\omega_1\) не зависит. Диполь доходит до разворота, пока \(\omega_1^2\ge0\); минимальному \(\omega_0\) отвечает \(\omega_1 = 0\) (диполь подходит к развёрнутому положению, почти остановившись): \[\omega_{\min}^2 = \frac{2m v_1^2}{I} = \frac{2m\,q^2d^2B^2/m^2}{md^2/2} = \frac{4q^2B^2}{m^2}.\]

Ответ (c). \[\boxed{\,\omega_{\min} = \frac{2qB}{m}\,}\]

Обратите внимание. При \(\omega_0 = \omega_{\min}\) диполь приходит к развёрнутому положению, лишь асимптотически останавливаясь на нём (как маятник, выведенный в верхнюю точку с нулевой скоростью, — см. ниже); при сколь угодно малом превышении \(\omega_{\min}\) разворот происходит за конечное время.

(d). Если у траектории есть асимптота, то движение вдоль неё равномерное. В пределе \(\vec p\to-\vec p_0\), \(\omega\to0\), и по пункту (a) движение равномерное с \(\vec v_1\parallel Y\), значит, асимптота — вертикальная прямая \(x = D\) (при \(\omega_0>0\)). Найдём \(D = x_\infty = \int_0^\infty v_x\,dt\).

Пусть \(\theta\) — угол диполя с осью \(X\) (\(\theta_0 = 0\), \(\dot\theta = \omega\)). Обозначим \(\Omega = qB/m\). Тогда \(\vec p = qd(\cos\theta,\sin\theta)\), и из (3) при \(\vec v_0 = 0\) \[\vec v = \frac{\vec p\times\vec B - \vec p_0\times\vec B}{2m}:\qquad v_x = \frac{\Omega d}{2}\sin\theta,\qquad v_y = \frac{\Omega d}{2}\,(1-\cos\theta).\] Теперь уравнение (2): \(\vec r = \tfrac d2(\cos\theta,\sin\theta)\), поэтому \(\vec r\cdot\vec v = \dfrac d2\cdot\dfrac{\Omega d}{2}\,\big(\sin\theta\cos\theta + \sin\theta - \sin\theta\cos\theta\big) = \dfrac{\Omega d^2}{4}\sin\theta\) и \[\frac{md^2}{2}\,\ddot\theta = -2qB\cdot\frac{\Omega d^2}{4}\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta = -\Omega^2\sin\theta .\] Это уравнение математического маятника (рис. 3): вращение диполя во всём совпадает с движением маятника, а скорость ЦМ жёстко связана с углом формулами для \(v_x\) и \(v_y\). Отсюда \(\sin\theta = -\ddot\theta/\Omega^2\), и \[\int_0^\infty \sin\theta\,dt = -\frac{\dot\theta(\infty) - \dot\theta(0)}{\Omega^2} = \frac{\omega_{\min}}{\Omega^2} = \frac{2}{\Omega},\] потому что \(\dot\theta(0) = \omega_{\min} = 2\Omega\), а при \(t\to\infty\) диполь асимптотически останавливается: \(\dot\theta\to0\). Следовательно, \[D = x_\infty = \frac{\Omega d}{2}\cdot\frac{2}{\Omega} = d .\]

Рис. 3. Аналогия: угол диполя \(\theta\) и угол маятника от нижнего положения подчиняются одному уравнению; «нижнее» положение \(\theta=0\) — исходное, «верхнее» \(\theta=\pi\) — развёрнутый диполь.

Ответ (d). \[\boxed{\,D = d\,}\] При вращении в противоположную сторону (\(\omega_0<0\)) асимптота \(x=-d\), расстояние до неё то же.

Проверка. Размерность: \(qBd/m\) — это Кл·Тл·м/кг = м/с (сила \(qvB\) измеряется в ньютонах), \(qB/m\) — с\(^{-1}\), так что \(\omega_{\min}\) — угловая частота, а \(R_c\) и \(D\) — длины. Предельный случай: при \(\omega_0\to0\) в (b) радиус \(R_c\to\infty\) и окружность вырождается в прямую; скорость при этом остаётся \(qBd/(2m)\), направленная вдоль \(Y\), — это частный случай ответа (a), где при \(\omega_0=0\) допустима любая \(\vec v_0\parallel Y\). Так ответы (a) и (b) согласуются.

Те же результаты — через фазовую плоскость. Сохранение энергии с \(v^2 = \Omega^2d^2\sin^2(\theta/2)\) (из формул для \(v_x\), \(v_y\)) даёт \[\omega^2 = \omega_0^2 - 4\Omega^2\sin^2\frac\theta2 ,\] это уравнение маятника; при \(\omega_0<2\Omega\) диполь колеблется около \(\theta=0\) (поворот не доходит до \(\pi\)), при \(\omega_0=2\Omega\) идёт по сепаратрисе \(\omega = 2\Omega\cos(\theta/2)\) и приходит в \(\theta=\pi\) с нулевой скоростью, при \(\omega_0>2\Omega\) проходит \(\theta=\pi\) с \(\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 4\Omega^2}\) и вращается (рис. 4). Это подтверждает \(\omega_{\min} = 2\Omega = 2qB/m\).

Рис. 4. Фазовая плоскость \((\theta,\omega)\) при \(v_0=0\): колебания (\(\omega_0=\Omega\)), сепаратриса (\(\omega_0=2\Omega=\omega_{\min}\)), вращение (\(\omega_0=2{,}5\Omega\)); точки на оси \(\omega\) — начальные состояния \(\omega_0=\Omega\), \(2\Omega\), \(2{,}5\Omega\).

Скорость ЦМ \(\vec v = \frac{\Omega d}{2}(\sin\theta,\,1-\cos\theta)\) при изменении \(\theta\) описывает окружность радиуса \(\Omega d/2 = qBd/(2m)\) в плоскости скоростей (рис. 5): \(v_y\ge0\), а в развёрнутом положении она максимальна и равна \(2\cdot qBd/(2m) = qBd/m = |\vec v_1|\), как найдено в (c).

Рис. 5. Годограф скорости центра масс \(\vec v(\theta)\) при \(\vec v_0 = 0\) — окружность, проходящая через начало координат.

Траектория ЦМ при \(\omega_0=\omega_{\min}\) находится явно: из \(\omega = 2\Omega\cos(\theta/2)\) имеем \(dt = d\theta/(2\Omega\cos(\theta/2))\) и \[x = d\Big(1-\cos\frac\theta2\Big),\qquad y = d\Big[\ln\tan\Big(\frac\pi4+\frac\theta4\Big) - \sin\frac\theta2\Big].\] При \(\theta\to\pi\) получаем \(x\to d\), \(y\to\infty\) (логарифмически), то есть асимптота \(x = d\) (рис. 6). Прямое численное интегрирование уравнений движения (python) даёт \(x_\infty = 0{,}9997\,d\), что подтверждает \(D=d\).

Рис. 6. Траектория ЦМ при \(\vec v_0=0\), \(\omega_0=\omega_{\min}\) и положения диполя при \(\theta = 0^\circ, 100^\circ, 140^\circ, 170^\circ\) (диполь показан без масштаба); \(+\) — заполненный бирюзовый кружок.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.