Тепловые колебания

Подсказка

Ток через катушку не может измениться скачком, а температура резистора при быстром установлении теплового равновесия определяется текущим током: \(R I^2 = \alpha(T - T_0)\). Фазовый переход происходит, когда ток достигает критического значения, отвечающего \(T = T_c\).

Ответ

(a) \(V_1 = \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}\), \(V_2 = \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\);  (b) \(\dfrac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \dfrac{R_2^2}{R_1^2}\);  (c) \(\tau = \dfrac{L}{R_1}\left(\ln\dfrac74 + \dfrac1{16}\ln 7\right) \approx 0{,}68\,\dfrac{L}{R_1}\)

Решение

Что происходит. Сопротивление резистора зависит от его температуры, а температура — от выделяющейся мощности \(RI^2\), то есть от тока. Это обратная связь: нагрелся — вырос \(R\) — ток стал уменьшаться — резистор остыл — сопротивление упало — ток снова растёт. Ток через катушку меняется непрерывно (ЭДС самоиндукции не даёт ему прыгнуть) и по экспоненте стремится к «своему» значению \(V/R\); температура же, подстраиваясь к току практически мгновенно, на фазовом переходе скачет вместе с \(R\). Ключевые законы: закон Ома для цепи с катушкой, \(L\dfrac{dI}{dt} + RI = V\), и тепловой баланс резистора \(RI^2 = \alpha(T - T_0)\).

Рис. 1. Схема с направлением тока \(I\); сопротивление резистора \(R(T)\) равно \(R_1\) при \(T<T_c\) и \(R_2\) при \(T>T_c\).

Обозначения. \(I(t)\) — ток в цепи; \(\Delta T_c = T_c - T_0\). Условие (ii) означает, что температура резистора в каждый момент отслеживает ток: мощность тепловыделения \(RI^2\) равна потоку тепла в среду, \[T(t) = T_0 + \frac{R(t)\,I(t)^2}{\alpha}. \tag{1}\] Уравнение для тока в фазе с сопротивлением \(R_j\) (\(j = 1, 2\)): \[L\frac{dI}{dt} + R_jI = V .\] Его решение при начальном токе \(I_{\text{нач}}\) в начале фазы: \[I(t) = J_j + (I_{\text{нач}} - J_j)\,e^{-R_jt/L}, \qquad J_j = \frac{V}{R_j}, \tag{2}\] где \(J_j\) — установившийся ток, к которому стремится \(I\), а \(L/R_j\) — время релаксации.

(a). Пусть сопротивление остаётся равным \(R_j\). Тогда ток устанавливается равным \(J_j = V/R_j\), выделяется мощность \(V^2/R_j\), и по тепловому балансу \(V^2/R_j = \alpha(T - T_0)\) температура стремится к \[T_{\text{экв},j} = T_0 + \frac{V^2}{\alpha R_j}.\] Колебаний нет, если система «застревает» в одном из двух состояний:

• состояние \(R_1\) устойчиво, если \(T_{\text{экв},1} < T_c\), то есть \(\dfrac{V^2}{\alpha R_1} < T_c - T_0\), откуда \(V < \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}\);

• состояние \(R_2\) устойчиво, если \(T_{\text{экв},2} > T_c\), то есть \(V > \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\).

Ни то, ни другое не выполнено, когда \(\sqrt{\alpha R_1\Delta T_c} < V < \sqrt{\alpha R_2\Delta T_c}\): при \(R_1\) резистор греется выше \(T_c\) и переключается на \(R_2\), при \(R_2\) остывает ниже \(T_c\) и возвращается на \(R_1\). Это и есть область колебаний (рис. 2).

Рис. 2. Равновесная температура при \(R_1\) (серая) и \(R_2\) (бирюзовая) в зависимости от \(V\); показан случай \(R_2 = 4R_1\). Колебания — между \(V_1\) и \(V_2\).

Ответ (a). \[\boxed{\,V_1 = \sqrt{\alpha R_1(T_c - T_0)}, \qquad V_2 = \sqrt{\alpha R_2(T_c - T_0)}\,}\]

(b). Критические токи — те, при которых температура достигает \(T_c\). По (1) при \(T = T_c\) получаем \(R_jI^2 = \alpha\,\Delta T_c\): \[I_1 = \sqrt{\frac{\alpha\Delta T_c}{R_1}}, \qquad I_2 = \sqrt{\frac{\alpha\Delta T_c}{R_2}}, \qquad I_2 < I_1 .\] Через них \(V_1 = R_1I_1\) и \(V_2 = R_2I_2\), поэтому при \(V_1<V<V_2\) получаем \(J_1 = V/R_1 > I_1\) и \(J_2 = V/R_2 < I_2\). Опишем один цикл. Пусть сопротивление равно \(R_1\), а ток \(I = I_2\). Так как \(J_1 > I_1 > I_2\), ток растёт по экспоненте \(I = J_1 - (J_1 - I_2)\,e^{-R_1t/L}\) к \(J_1\), и температура \(T = T_0 + R_1I^2/\alpha\) растёт вместе с ним. Когда ток достигает \(I_1\), температура достигает \(T_c\), и \(R\) скачком переходит в \(R_2\). Ток при этом остаётся равным \(I_1\) — катушка не пускает скачок, — а температура мгновенно становится \(T_0 + R_2I_1^2/\alpha\), больше \(T_c\) в \(R_2/R_1\) раз по превышению над \(T_0\). Дальше при \(R_2\) ток убывает по экспоненте \(I = J_2 + (I_1 - J_2)\,e^{-R_2t/L}\) к \(J_2 < I_2\), пока не достигнет \(I_2\); в этот момент \(T = T_c\) и \(R\) возвращается к \(R_1\): температура скачком падает до \(T_0 + R_1I_2^2/\alpha\). Цикл замкнулся (рис. 3 и 4).

Рис. 3. Ток: куски экспонент при \(R_1\) (серые, медленнее — время \(L/R_1\)) и при \(R_2\) (бирюзовые, быстрее — время \(L/R_2\)), стыкующиеся без скачков. Расчёт для \(R_2 = 4R_1\), \(V = \sqrt{V_1V_2}\); единицы \(I_1 = 1\), время в \(L/R_1\).

Рис. 4. Температура: плавные участки и скачки на уровне \(T_c\) (скачок вверх от \(T_c\) до \(T_{\max}\), вниз — от \(T_c\) до \(T_{\min}\)). Те же параметры, что на рис. 3.

Экстремумы температуры достигаются сразу после скачков, при \(I = I_1\) и \(I = I_2\) соответственно: \[T_{\max} - T_0 = \frac{R_2I_1^2}{\alpha}, \qquad T_{\min} - T_0 = \frac{R_1I_2^2}{\alpha}.\] Делим и подставляем \(I_1^2 = \alpha\Delta T_c/R_1\), \(I_2^2 = \alpha\Delta T_c/R_2\): \[\frac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \frac{R_2I_1^2}{R_1I_2^2} = \frac{R_2\cdot\dfrac1{R_1}}{R_1\cdot\dfrac1{R_2}} = \frac{R_2^2}{R_1^2}.\]

Ответ (b). \[\boxed{\,\frac{T_{\max}-T_0}{T_{\min}-T_0} = \frac{R_2^2}{R_1^2}\,}\] Качественный вид \(T(t)\) — на рис. 4: куски экспонент с резкими скачками на уровне \(T_c\).

(c). Длительность каждого участка найдём из (2): время, за которое ток при релаксации к \(J_j\) переходит от \(I_{\text{нач}}\) к \(I_{\text{кон}}\), равно \[t_j = \frac{L}{R_j}\ln\frac{|J_j - I_{\text{нач}}|}{|J_j - I_{\text{кон}}|}.\] Участок \(R_1\): ток растёт от \(I_2\) до \(I_1\) при \(J_1\); участок \(R_2\): убывает от \(I_1\) до \(I_2\) при \(J_2\): \[t_1 = \frac{L}{R_1}\ln\frac{J_1 - I_2}{J_1 - I_1}, \qquad t_2 = \frac{L}{R_2}\ln\frac{I_1 - J_2}{I_2 - J_2}, \qquad \tau = t_1 + t_2 .\] Пусть \(R_2 = \eta R_1\). Тогда \(I_2 = I_1/\sqrt\eta\), \(V_1V_2 = R_1I_1\cdot R_2I_2 = \sqrt\eta\,R_1^2I_1^2\), и при \(V = \sqrt{V_1V_2}\) \[V = \eta^{1/4}R_1I_1, \qquad J_1 = \eta^{1/4}I_1, \qquad J_2 = \eta^{-3/4}I_1 .\] Для \(\eta = 16\) (корни: \(\eta^{1/4} = 2\), \(\eta^{3/4} = 8\)): \(I_2 = \dfrac{I_1}{4}\), \(J_1 = 2I_1\), \(J_2 = \dfrac{I_1}{8}\). Подставляем (в долях \(I_1\)): \[\frac{J_1 - I_2}{J_1 - I_1} = \frac{2 - \tfrac14}{2 - 1} = \frac74, \qquad \frac{I_1 - J_2}{I_2 - J_2} = \frac{1 - \tfrac18}{\tfrac14 - \tfrac18} = 7,\] \[\tau = \frac{L}{R_1}\ln\frac74 + \frac{L}{16R_1}\ln 7 .\]

Рис. 5. Ток за два периода при \(R_2 = 16R_1\), \(V = \sqrt{V_1V_2}\) (по формулам выше); отмечены моменты переключений в единицах \(L/R_1\).

Ответ (c). \[\boxed{\,\tau = \frac{L}{R_1}\left(\ln\frac74 + \frac1{16}\ln 7\right) \approx 0{,}68\,\frac{L}{R_1}\,}\] Численно: \(\ln\dfrac74 = 0{,}560\), \(\dfrac{\ln 7}{16} = 0{,}122\), сумма \(0{,}681\).

Проверка. Размерность: \(L/R\) — секунды, логарифмы безразмерны. Условие \(V_1<V<V_2\) и вправду даёт \(J_1>I_1\) и \(J_2<I_2\) (при \(\eta = 16\): \(J_1 = 2I_1\), \(J_2 = I_1/8 < I_2 = I_1/4\)), иначе до порога ток бы не дошёл и колебаний не было бы. Предел \(V\to V_1\) (\(J_1\to I_1\)): \(t_1\to\infty\), период неограниченно растёт — колебания исчезают, система остаётся в состоянии \(R_1\); при \(V\to V_2\) то же с \(t_2\) (\(J_2 \to I_2\)). Численное интегрирование уравнения \(L\,dI/dt = V - R(T)I\) с переключением при \(T = T_c\) даёт при \(\eta = 16\) период \(0{,}6813\,L/R_1\) и отношение температур \(256 = \eta^2\) — как в ответах.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.