Плавающий цилиндр

Масса жидкости в узком зазоре между цилиндром и стенкой мала, но движется она в десятки раз быстрее цилиндра. Её инерцию нельзя отбросить: учтите её либо через кинетическую энергию, либо вторым законом Ньютона для столба жидкости в зазоре.

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\gamma h}{g}} \approx 0{,}53\) с

Что происходит. Когда цилиндр опускается, жидкость, которую он вытесняет, может подняться только по узкому зазору между цилиндром и стенкой стакана. Площадь зазора \(S-s = 2\) см\(^2\) в 50 раз меньше площади основания цилиндра, поэтому по несжимаемости скорость жидкости в зазоре в 50 раз больше скорости цилиндра. Масса этой жидкости невелика, но кинетическая энергия растёт как квадрат скорости, и энергия жидкости в зазоре оказывается в десятки раз больше энергии самого цилиндра. Значит, период определяется инерцией жидкости в зазоре, а не только массой цилиндра. Жидкость под цилиндром движется медленно, её энергией пренебрегаем. Идея решения: второй закон Ньютона для цилиндра и для столба жидкости в зазоре плюс сохранение объёма жидкости.

Рис. 1. Равновесие и состояние, когда цилиндр смещён вниз на \(x_1\), а уровень жидкости поднялся на \(x_2\). Рисунок не в масштабе: зазор показан широким.

Обозначения. \(\varrho\) — плотность жидкости, \(\gamma\varrho\) — плотность цилиндра. В равновесии цилиндр плавает, значит, сила Архимеда равна силе тяжести: \(\varrho g s\,h_{\text{погр}} = \gamma\varrho s h g\), откуда погружённая часть имеет высоту \(h_{\text{погр}} = \gamma h = 7\) см. Пусть в рассматриваемый момент цилиндр смещён вниз от положения равновесия на \(x_1\), а уровень жидкости поднялся на \(x_2\). \(p_0\) — атмосферное давление (оно действует на верхнее основание цилиндра и на поверхность жидкости в зазоре), \(p\) — давление жидкости на нижнее основание цилиндра. Силы, возвращающие систему к равновесию, направлены: на цилиндр вверх, на жидкость в зазоре вниз; их ускорения — \(a_1\) у цилиндра (вверх) и \(a_2\) у жидкости в зазоре (вниз).

Связь смещений и ускорений. Объём жидкости не меняется. Жидкость занимает всё сечение \(S\) ниже дна цилиндра и кольцо площадью \(S-s\) выше него; при сдвиге дна вниз на \(x_1\) и подъёме уровня на \(x_2\) изменение объёма равно нулю: \[-S x_1 + (S-s)(x_1 + x_2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad s\,x_1 = (S-s)\,x_2 .\] Дважды дифференцируя по времени, получаем такую же связь для ускорений: \[s\,a_1 = (S-s)\,a_2 .\]

Столб жидкости в зазоре. Выделим вертикальный столб жидкости единичной площади сечения в зазоре: от поверхности жидкости до уровня нижнего основания цилиндра. Его высота \(L = \gamma h + x_1 + x_2\), масса \(\varrho L\). Давление сверху \(p_0\), снизу \(p\) (под цилиндром жидкость движется медленно, горизонтальных перепадов давления нет, и давление на всём нижнем основании одинаково и равно давлению у низа столба). Второй закон Ньютона для столба, в проекции на ось, направленную вниз: \[\varrho L\, a_2 = p_0 - p + \varrho L g .\] Отсюда \(p - p_0 = \varrho L\,(g - a_2)\). Обратите внимание: разность давлений на нижнее и верхнее основания цилиндра не равна гидростатической \(\varrho g L\) — жидкость в зазоре движется с ускорением, и поправка \(-\varrho L a_2\) как раз и учитывает её инерцию. Без неё получился бы период в \(\sqrt{51}\approx 7\) раз меньше.

Рис. 2. Силы на цилиндр и на столб жидкости единичной площади в зазоре.

Цилиндр. Второй закон Ньютона для цилиндра в проекции на ось, направленную вверх: сила давления снизу \(ps\), сверху \(p_0 s\) (направлена вниз), сила тяжести \(\gamma\varrho s h g\): \[(p - p_0)\,s - \gamma\varrho s h g = \gamma\varrho s h\, a_1 .\] Подставим \(p - p_0\) из уравнения для столба: \[\varrho s\,(\gamma h + x_1 + x_2)(g - a_2) - \gamma\varrho s h g = \gamma\varrho s h\, a_1 .\] Раскроем скобки. Слагаемые \(\varrho s\gamma h g\) сокращаются — это условие равновесия. Слагаемое \(\varrho s\,(x_1+x_2)\,a_2\) имеет второй порядок малости по амплитуде и мало по сравнению с \(\varrho s\gamma h\,a_2\) (отношение \((x_1+x_2)/(\gamma h) \sim 1{,}5\,\%\)), его отбрасываем. Остаётся \[g\,(x_1 + x_2) = \gamma h\,(a_1 + a_2).\] Теперь выразим \(x_2\) и \(a_2\) через \(x_1\) и \(a_1\) по связям выше: \(x_2 = \dfrac{s}{S-s}\,x_1\), \(a_2 = \dfrac{s}{S-s}\,a_1\). Общий множитель \(1 + \dfrac{s}{S-s} = \dfrac{S}{S-s}\) сокращается: \[g\,x_1 = \gamma h\,a_1 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = \frac{g}{\gamma h}\,x_1 .\] Ускорение направлено против смещения и пропорционально ему — это уравнение гармонических колебаний с \(\omega^2 = \dfrac{g}{\gamma h}\).

Ответ. \[\boxed{\,T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{\gamma h}{g}}\,}\approx 2\pi\sqrt{\frac{0{,}070\ \text{м}}{9{,}81\ \text{м/с}^2}} \approx 0{,}53\ \text{с}.\] Круговая частота \(\omega \approx 11{,}8\) с\(^{-1}\). Данные \(H\) и \(A\) периода не меняют: \(H\) нужно лишь для того, чтобы жидкость не переливалась, а \(A\) — чтобы убедиться в малости смещений. Уровень жидкости колеблется с амплитудой \(A = 1\) мм, амплитуда цилиндра по связи \(x_2 = 50\,x_1\) равна \(1\ \text{мм}/50 = 0{,}02\) мм (рис. 3); оба смещения много меньше \(\gamma h = 70\) мм.

Рис. 3. Колебания цилиндра (левая шкала, мкм) и уровня жидкости (правая шкала, мм) — одна и та же косинусоида: \(x_2 = 50\,x_1\), период \(T = 0{,}53\) с.

Проверка. Размерность: \([\gamma h/g] = \text{м}\cdot\text{с}^2/\text{м} = \text{с}^2\), корень даёт секунды. Физический смысл: период равен периоду математического маятника длиной \(\gamma h\), то есть глубины погружения цилиндра; площади \(s\) и \(S\) в ответ не входят — множитель \(S/(S-s)\) одинаково увеличивает и «жёсткость», и «инерцию» системы.

Второй способ — энергетический. Потенциальная энергия: цилиндр опустился на \(x_1\) (работа силы тяжести \(-\gamma\varrho s h g x_1\)), а жидкость массы \(\varrho s x_1\) поднялась в среднем на \(\gamma h + (x_1+x_2)/2\): \[E_{\text{п}} = -\gamma\varrho s h g\,x_1 + \varrho s x_1 g\left(\gamma h + \frac{x_1+x_2}{2}\right) = \frac{\varrho g}{2}\,\frac{sS}{S-s}\,x_1^2 ,\] так что \(k_{\text{эфф}} = \varrho g\,\dfrac{sS}{S-s}\). Кинетическая энергия цилиндра \(\tfrac12\gamma\varrho s h\,v_1^2\), жидкости в зазоре — \(\tfrac12\varrho (S-s)\gamma h\,v_2^2\) при \(v_2 = \dfrac{s}{S-s}v_1\); энергией жидкости под цилиндром пренебрегаем (при расстоянии до дна в 3,5 см она примерно в 100 раз меньше энергии жидкости в зазоре, рис. 4). Суммарно \(E_{\text{к}} = \tfrac12 m_{\text{эфф}} v_1^2\) с \(m_{\text{эфф}} = \gamma\varrho h\,\dfrac{sS}{S-s}\). Тогда \(\omega^2 = k_{\text{эфф}}/m_{\text{эфф}} = g/(\gamma h)\) — тот же результат. Числа: \(sS/(S-s) = 51\,s\), то есть эффективная масса в 51 раз больше массы цилиндра, и на жидкость в зазоре приходится \(50/51\) всей кинетической энергии.

Рис. 4. Кинетическая энергия при одной и той же скорости цилиндра, в долях энергии самого цилиндра.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.