Действие магнитного поля на сверхпроводники
8/10Электрон – элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином (моментом импульса). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры \(T_c\)), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину \(\Delta\) по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна \(p^2/2m_e\), где \(p\) – импульс электрона, а \(m_e\) – его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником.
Однако, даже при температурах ниже \(T_c\) сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов.
Первый эффект – парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю.
Второй эффект – диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение \(B_c\), увеличение энергии становится больше чем \(2 \Delta\). В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары.
Недавно был открыт новый тип сверхпроводников – сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты.
Часть А. Электрон в магнитном поле
Рассмотрим виток радиуса \(r\), полный заряд которого \(-e\), а масса – \(m\). Масса и заряд распределены по витку равномерно (рис. 1).
A1. Чему равен момент импульса \(\vec{L}\) этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью \(\vec{\omega}\)?
A2. Величина магнитного момента определяется как \(|\vec{M}| = I A\), где \(I\) – это ток, а \(A\) – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом \(\vec{M}\) и моментом импульса \(\vec{L}\) витка.
Пусть \(\vec{n}\) – нормаль к витку, и она составляет угол \(\theta\) с приложенным магнитным полем (рис. 2).
A3. Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией \(B_z\), которое направлено вдоль оси \(z\). Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при \(\theta = \pi/2\).
A4. У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна \(\hbar/2\), где \(\hbar = h/2\pi\), а \(h\) – постоянная Планка. \newline
Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов \(U_{\text{up}}\) и \(U_{\text{down}}\), чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора
\[\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 5.788 \cdot 10^{-5} \text{эВ}\cdot\text{Т}^{-1}\]и индукцию поля \(B\).
A5. Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\) в два раза больше значений \(U_{\text{up}}\) и \(U_{\text{down}}\), найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\), чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\).
Часть B. Парамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары
В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3).
Теоретические расчеты показывают, что в сверхпроводниках два электрона могут образовывать куперовскую пару, при этом общая энергия системы уменьшается. Энергия куперовской пары может быть записана как
\[\frac{p_1^2}{2m_e} + \frac{p_2^2}{2 m_e} - 2 \Delta,\]где первые два члена соответствуют кинетической энергии куперовской пары, а последний – уменьшению энергии из-за создания куперовской пары. Здесь \(\Delta\) – положительная постоянная.
B1. Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия \(E_S\) куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле \(\vec{B} = (B_x, 0, 0)\)? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.
B2. В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле \(\vec{B} = (B_x, 0, 0)\) однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси \(x\). Чему равна минимальная энергия двух электронов \(E_N\) в этом поле? Используйте в своих вычислениях \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\) из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.
B3. Когда температура равна нулю, система займет состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение \(B_P\) (т.е. при \(|\vec{B}| > B_P\)). Чему равно это критическое значение \(B_P\)? Выразите ответ через \(\Delta\).
Часть С. Диамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары
В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар.
Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле \(\vec{B} = (0,0,B_z)\), то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана
\[F = \int_{-\infty}^{\infty} \psi \left( - \alpha \psi - \frac{\hbar^2}{4 m_e} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \psi \right) dx\]
Здесь \(\psi(x)\) — функция, зависящая от \(x\) и не зависящая от \(y\). \(\psi(x)^2\) задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения \(x\). Здесь \(\alpha\) – постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в \(F\) связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию \(F\). В этом случае функция \(\psi(x)\) может быть записана в виде
\[\psi(x) = \left( \frac{2\lambda}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\lambda x^2},\]где \(\lambda > 0\).
C1. Найдите \(\lambda\) и выразите ответ через \(e\), \(B_z\) и \(\hbar\).
Примечание:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},\]
\[\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{\pi}{a}},\]
где \(a\) – постоянная.
C2. Найдите критическое значение индукции поля \(B_z\), когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через \(\alpha\).
Часть D. Сверхпроводники Изинга
В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом \(\vec{p}\), действует внутреннее магнитное поле \(B_{1\perp} = (0,0,-B_z)\). С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом \(-\vec{p}\), действует противоположно направленное магнитное поле \(B_{2\perp} = (0, 0, B_z)\). Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга.
Рис. 4: Два электрона образуют куперовскую пару. На электрон 1, обладающий импульсом \(\vec{p}\), действует магнитное поле \(B_{1\perp} = (0,0,-B_z)\), а на электрон 2, обладающий импульсом \(-\vec{p}\), действует противоположно направленное магнитное поле \(B_{2\perp} = (0, 0, B_z)\). Внутренние магнитные поля обозначены штриховыми стрелками
D1. Чему равна энергия \(E_I\) куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?
D2. К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле \(\vec{B}_{\parallel} = (B_x,0,0)\). Чему при этом равна энергия \(E_{\parallel}\) двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно \(\vec{B}_{\parallel}\). Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)
D3. Чему равно критическое значение индукции \(B_I\), когда при \(|\vec{B}_{\parallel}| > B_I\), \(E_{\parallel} < E_I\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветA1: Момент импульса\[\vec L=r[\hat r,\vec p]=r[\hat r,\hat\varphi]\int_0^{2\pi}\frac{mvr}{2\pi r}\mathrm d\varphi\overset{v=\omega r}=m\omega r^2\hat z,\quad где\quad \hat z=[\hat r,\hat\varphi].\]; A2: \[\vec M=-\frac e{2m}\vec L\]; A3: \[U=-(\vec M,\vec B)=\frac12e\omega r^2 B_z\cos\theta\]; A4: \[U_\mathrm{up,down}=\pm\frac12\mu_BB\]; A5: \[\tilde{U}_\mathrm{up,down}=\pm5.788\cdot10^{-5}~эВ\]; B1: Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.; B2: \[E_N=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_BB_x=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}B_x\]; B3: \[B_P=\frac{2m_e\Delta}{e\hbar}\]; C1: \[\lambda=eB_z/\hbar\] \[\lambda=eB_z/\hbar\]; C2: \[B_z=\frac{2m_e\alpha}{e\hbar}\]; D1: \[E_I=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{e\hbar}{m_e}B_{z}\]; D2: \[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}\sqrt{B_x^2+B_z^2}\]
РешениеA1. Ответ:
Момент импульса\[\vec L=r[\hat r,\vec p]=r[\hat r,\hat\varphi]\int_0^{2\pi}\frac{mvr}{2\pi r}\mathrm d\varphi\overset{v=\omega r}=m\omega r^2\hat z,\quad где\quad \hat z=[\hat r,\hat\varphi].\]
A2. Ток равен \(I=-ef=-e\frac\omega{2\pi}\), откуда \(\vec M=-e\frac\omega{2\pi}\pi r^2\hat z\implies\)
Ответ:
\[\vec M=-\frac e{2m}\vec L\]
A3. На виток с током действует магнитный момент\[\vec\tau=[\vec M,\vec B].\]Работа магнитного поля будет при этом равна\[W=\int_{\pi/2}^\theta(\vec \tau,\mathrm d\vec \theta')=\int_{\pi/2}^\theta-|\vec \tau|~\mathrm d\theta'=\int_{\pi/2}^\theta|\vec M||\vec B|\sin\theta'~\mathrm d\theta'=(\vec M,\vec B).\]Поскольку \(U=-W\), то
Ответ:
\[U=-(\vec M,\vec B)=\frac12e\omega r^2 B_z\cos\theta\]
A4. Направим ось \(z\) вдоль магнитного поля, тогда\[U=- M_zB.\]Магнитный момент электрона\[M_z=-\frac e{2m_e}S_z.\]Итак,\[U=\frac e{2m_e}S_zB=\frac{\mu_B}\hbar S_zB=\frac12\mu_B B\implies\]
Ответ:
\[U_\mathrm{up,down}=\pm\frac12\mu_BB\]
A5. Ответ:
\[\tilde{U}_\mathrm{up,down}=\pm5.788\cdot10^{-5}~эВ\]
B1. Ответ:
Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.
B2. Минимальная энергия достигается, когда спины обоих электронов направлены против поля. Учитывая квантовомеханические эффекты (энергия \(\times2\)), получим:
Ответ:
\[E_N=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_BB_x=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}B_x\]
B3. Сверхпроводимость исчезнет, если\[E_N < E_S\implies 2B_x\mu_B > 2\Delta \implies B_x > \frac{\Delta}{\mu_B}\implies\]
Ответ:
\[B_P=\frac{2m_e\Delta}{e\hbar}\]
Примечание: изложение в задаче заметно упрощено. «Честный» вывод критического поля с учётом магнетизма Паули и энергии конденсации в сверхпроводящее состояние приводит к результату в \(\sqrt2\) раз меньше.
C1. Решение 1
Подставляя \(\psi(x)=\sqrt[4]{\frac{2\lambda}{\pi}}\exp(-\lambda x^2)\) в выражение для \(F(\psi)\), получим:
\[F(\psi)=\sqrt{\frac{2\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda x^{2}}\left[-\alpha e^{-\lambda x^{2}}-\frac{\hbar}{4m_e}\left(-2\lambda e^{-\lambda x^{2}}+4\lambda^{2}x^{2}e^{-\lambda x^{2}}\right)+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_e}e^{-\lambda x^{2}}\right]~\mathrm dx=\\=\sqrt{\frac{2\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\left(-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{2m_{e}}\right)e^{-2\lambda x^{2}}+\left(\frac{e^{2}{B_{z}^{2}}}{m_{e}}-\frac{\hbar^{2}\lambda^{2}}{m_{e}}\right)x^{2}\mathrm{e}^{-2\lambda x^{2}}\right]~{\mathrm{d}}x=\\=-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{2m_{e}}+\left(\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{m_{e}}-\frac{\hbar^{2}\lambda^{2}}{m_{e}}\right).\frac1{4\lambda}=-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{4m_{e}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{4\lambda m_{e}}.\]
Если рассматривать \(F(\psi)\) как функцию \(\lambda\), получим\[\frac{\mathrm dF}{\mathrm d\lambda}=\frac{\hbar^2}{4m_e}-\frac{e^2B_z^2}{4}.\]Условие минимума – это \(\frac{\mathrm dF}{\mathrm d\lambda}=0\) и \(\frac{\mathrm d^2F}{\mathrm d\lambda^2} > 0\), откуда\[\frac{\hbar^2}{4m_e}-\frac{e^2B_z^2}{4m_e\lambda^2}=0.\]Итого,
Ответ:
\[\lambda=eB_z/\hbar\]
Несложно проверить, что при этом значении \(\lambda\) действительно выполняется \(\frac{\mathrm d^2F}{\mathrm d\lambda^2} > 0\).
Решение 2
\[F(\psi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\left(-\alpha\psi-\frac{\hbar^{2}}{4m_{e}}\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\psi\right)~\mathrm{d}x=\\=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\left(-\alpha-\frac{\hbar^{2}}{4m_{e}}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\right)\psi~\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\tilde H\psi~\mathrm{d}x\]
Таким образом, для нормированной волновой функции \(\psi\) величина \(F(\psi)\) будет равна математическому ожиданию энергии системы \(\langle\tilde H\rangle\) – собственному значению Гамильтониана\[\tilde H=-\frac{\hbar^2}{4m_e}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+\frac{e^2B_z^2}{m_e}x^2-\alpha.\]Первые два слагаемых описывают обычный квантовый гармонический осциллятор. Таким образом, энергия основного состояния будет равна\[F_{\min}=\frac12\hbar\omega-\alpha,\]где \(\omega=eB_z/m_e\). Волновая функция основного состояния\[\psi=\sqrt[4]{\frac{2m_e\omega}{\pi\hbar}}\exp(-m_e\omega x^2/\hbar)=\sqrt[4]{\frac{2eB_z}{\pi\hbar}}\exp(-eB_z x^2/\hbar),\]откуда
Ответ:
\[\lambda=eB_z/\hbar\]
C2. Как следует из предыдущего пункта, \(F_{\min}=\frac{\hbar eB_z}{2m_e}-\alpha\). Критическому значению \(B_z\) соответствует нулевая разность энергий, т.е. \(F_{\min}=0\implies\)
Ответ:
\[B_z=\frac{2m_e\alpha}{e\hbar}\]
D1. \[E_{I}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{2\mu_{B}S_{1z}B_{z}}{\hbar}+\frac{2\mu_{B}S_{2z}B_{z}}{\hbar}.\]Т.к. \(S_z=\pm\hbar/2\), из условия минимальности энергии получим:\[E_{I}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{2\mu_{B}B_{z}}{2}-\frac{2\mu_{B}B_{z}}{2}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-2\mu_{B}B_{z}\implies\]
Ответ:
\[E_I=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{e\hbar}{m_e}B_{z}\]
D2. В нормальном состоянии магнитные моменты электронов будут выстраиваться параллельно магнитному полю, поэтому:\[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+\frac{2\mu_B(\vec S_1,\vec B_1)}\hbar+\frac{2\mu_B(\vec S_2,\vec B_2)}\hbar=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2},\]где использовалось \(\vec B_{1,2}=\left(\begin{array}{c}B_x\\0\\\mp B_z\end{array}\right)\), \(|\vec S_{1,2}|=\hbar/2\). Итого:
Ответ:
\[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}\sqrt{B_x^2+B_z^2}\]
D3. \[E_{\parallel} < E_{\mathrm{Ising}}\implies2\mu_{\mathrm{ig}}\sqrt{B_{x}^{2}+B_{z}^{2}}>2\Delta+2\mu_{\mathrm{B}}B_{z}\implies\]
Ответ:
\[B_I = \frac{\sqrt{\Delta^{2}+2\Delta\mu_{\mathrm{B}}B_{z}}}{\mu_{\mathrm{B}}}\]
Перевод: pho.rs.
Похожие задачи
- Сверхпроводник в катушке МОШ 1990/91, 11 кл.
- Сверхпроводящее кольцо у катушки ВсОШ 1992/93, 11 кл.
- Соленоид и виток ВсОШ 2021/22, 11 кл.
- Сверхпроводящая рамка МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Сверхпроводящее кольцо в поле ВсОШ 1996/97, 11 кл.
- Работа по введению стержня в сверхпроводящую катушку «Шаг в будущее» 2017/18, 11 кл.