Механика деформируемой структуры

В этой задаче мы исследуем деформируемую структуру в поле тяжести. Структуру можно считать физическим маятником, у которого только одна степень свободы (т.е. существует только один способ деформировать его, и его положение полностью определяется углом \(\alpha\)). Джеймс Максвелл исследовал подобные структуры в XIX веке, а недавно было открыто их необычное поведение.

На рисунке 1 показаны \(N^2\) одинаковых равносторонних треугольных пластинок (красные треугольники), которые шарнирно соединены друг с другом одинаковыми стержнями. Таким образом, система представляет собой решетку размером \(N \times N\) (\(N > 1\)). Шарниры в вершинах треугольников обозначены маленькими кружками. Длина стороны треугольника равна длине стержня и равна \(l\).

Пунктирными линиями обозначены четыре трубки. Вдоль каждой из трубок могут скользить \(N\) вершин (серые кружки), т.е. трубку можно рассматривать, как направляющий стержень. Четыре трубки шарнирно соединены в ромб так, что его углы зафиксированы: два из них \(60^{\circ}\), а два других – \(120^{\circ}\) (см. Рис. 1).

Все пластинки однородны, и масса каждой из них равна \(M\). Остальные части системы невесомы. Положение системы однозначно определяется углом \(\alpha\), где \(0 ^{\circ} \leq \alpha \leq 60 ^{\circ}\). На рисунке 1 приведены примеры положений для различных углов \(\alpha\).

Система расположена вертикально (как занавес), а верхняя трубка может двигаться только в горизонтальном направлении.

Система координат приведена на рисунке 2. Нулевой уровень потенциальной энергии выбран при \(y = 0\). Треугольная пластинка обозначается парой индексов (\(m\), \(n\)), где \(m\), \(n\) = 0, 1, 2, ... , \(N\) - 1, что задает их нумерацию в направлениях \(x\) и \(y\) соответственно. \(A\)(\(m\), \(n\)), \(B\)(\(m\), \(n\)) и \(C\)(\(m\), \(n\)) обозначают положения трех вершин треугольника (\(m\), \(n\)). Верхняя левая вершина \(A\)(0, 0) неподвижна.

Движение системы происходит только в плоскости \(x y\) . Момент инерции однородной равносторонней треугольной пластинки относительно ее центра масс равен \(I = M l^2 / 12\). Ускорение свободного падения – \(g\).

Для кинетической и потенциальной энергии используйте обозначения \(E_k\) и \(E_p\) соответственно.

Часть A (4 балла)

Рассмотрите случай \(N = 2\) (см. Рис. 3).

A1. Чему равна потенциальная энергия системы \(E_p\) для произвольного угла \(\alpha\) при \(N = 2\)?

A2. Чему равен угол \(\alpha\), при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при \(N = 2\))?

A3. Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний \(f_E\) при \(N = 2\).

Часть B (3 балла)

Рассмотрите систему при произвольном \(N\).

B1. Чему равен угол \(\alpha'_E\), при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном \(N\))?

B2. Рассмотрите случай \(N \to \infty\). При небольшом изменении угла \(\alpha\) изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как \(\Delta E_p \propto N^{\gamma_1}\), кинетическая энергия системы – \(E_k \propto N^{\gamma_2}\) и частота малых колебаний – \(f'_E \propto N^{\gamma_3}\). Найдите значения \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) и \(\gamma_3\).

Часть C (3 балла)

Систему удерживают в положении с \(\alpha_m = 60^{\circ}\). Для этого на одну из \(3 N^2\) вершин действуют некоторой силой.

C1. Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?

C2. Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла \(\theta_F\), который определен так, как показано на рисунке 4.