Брус на вращающихся валиках

Обозначим через \(x\) смещение центра масс бруса, \(N_i\) — реакция опор (рис. 188). Запишем второй закон Ньютона и уравнение моментов относительно центра масс: \[N_1 + N_2 = Mg,\qquad N_1(L/2 - x) = N_2(L/2 + x),\] где \(M\) — масса бруса, \(g\) — ускорение свободного падения. Предположим, что проскальзывание есть на обоих валиках. Тогда \[F_{\text{тр}} = k(N_1 - N_2) = -kMg\,2x/L.\]

Из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось следует, что брус будет совершать гармонические колебания с частотой \[\omega_0 = \sqrt{2kg/L} = 1{,}72\text{ с}^{-1}. \tag{1}\] Из (1) видно, что частота колебаний не зависит от начальных условий и от скорости вращения валиков. Следовательно, и после уменьшения скорости вращения валиков эта частота не изменится, т.е. \(\Omega = \omega_0\). До уменьшения скорости вращения валиков амплитуда колебаний бруса \(A_1 = \alpha L = 0{,}75\) м, а амплитуда скорости \[v_1 = A_1\omega_0 \approx 1{,}29\text{ м/с}.\] Поскольку \(v_1 < \omega R = 5\) м/с, предположение о проскальзывании бруса по обоим валикам оказалось верным. Новая скорость вращения валиков \(\omega_2 = 0{,}1\omega_1\). Амплитуда скорости бруска \(v_2 = A_2\omega_0\) не должна быть больше скорости точек поверхности валиков, т.е. \[A_2\omega_0 = \omega_2 R.\] Отсюда \[A_2 = \dfrac{\omega_2}{\omega_0}R \approx 0{,}29\text{ м}.\]