Заряд через микроамперметр

Перед размыканием ключа \(K\) сила тока, текущего через катушку \(L\), равна \[I_{L1} = \mathcal{E}/(R + R_1).\] Пусть после размыкания ключа \(K\) в цепи текут токи, положительные направления которых изображены на рис. 190.

По правилам Кирхгофа можно записать систему уравнений: \[I_L = I_r + I_1, \tag{1}\] \[2I_1R_1 - I_rr = 0, \tag{2}\] \[L\dfrac{dI_L}{dt} + 2I_LR + I_rr = 0. \tag{3}\] Из (1) и (2) найдём, что \(I_L = I_r(r + 2R_1)/(2R_1)\). После подстановки этого выражения в (3) получим: \[\dfrac{dI_L}{dt} = -\dfrac{rR + R_1(2R + r)}{LR_1}I_r.\] Заряд, протёкший через микроамперметр, за время \(dt\): \[dQ = -\dfrac{LR_1}{rR + R_1(2R + r)}dI_L.\] Поскольку конечная сила тока через катушку \(I_L = 0\), то полное изменение силы тока равно \(-\mathcal{E}/(R_1 + R)\), а полный заряд равен \[Q = \dfrac{\mathcal{E}L}{2R(R + r) + (2R + r)R_1 + rR^2/R_1}.\] \(Q\) достигает максимального значения, когда \((2R + r)R_1 + rR^2/R_1\) минимально. А это имеет место при условии \((2R + r)R_1 = rR^2/R_1\). Ответ можно получить, продифференцировав знаменатель выражения для \(Q\) по \(R_1\) и приравняв производную нулю.

Окончательно получим: \(R_1 = R\sqrt{\dfrac{r}{r + 2R}}\).