Бусинка на нити

1. В первом случае происходят колебания математического маятника с длиной подвеса \(b = \sqrt{l^2 - a^2}\): \[\omega_\perp^2 = \dfrac{g}{\sqrt{l^2 - a^2}}.\] 2. Так как нить нерастяжимая, то \(AC + CB = 2l\). Следовательно, во втором случае бусинка \(C\) движется по эллипсу с фокусами \(A\) и \(B\). Длина малой полуоси \(b = \sqrt{l^2 - a^2}\), большой полуоси — \(l\). Уравнение эллипса: \[\dfrac{x^2}{l^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,\qquad y = -b\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{l^2}} \approx -b + \dfrac{bx^2}{2l^2}.\]

Тогда получим: \(\Delta y \approx bx^2/(2l^2)\). Значит, при отклонении бусинки по горизонтали на \(x\) потенциальная энергия возрастёт на \[\Delta\Pi = mg\Delta y \approx \dfrac{1}{2}mgb\dfrac{x^2}{l^2}.\] Пусть кинетическая энергия бусинки \(T \approx \dfrac{1}{2}m\dot x^2\).

Отсюда следует: \(\omega_\parallel^2 \approx gb/l^2\), то есть \(\omega_\parallel^2 \approx g\sqrt{l^2 - a^2}/l^2\).

3. Из рис. 63.11, б в условии задачи видно, что \(\dfrac{\omega_\perp}{\omega_\parallel} = 2\). Отсюда получаем: \[a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,l.\]