Цилиндр на наклонной плоскости

Какие силы и моменты меняют вращение трубы на шероховатом участке? Время подъёма выразите через угол \(\varphi\) и найдите его минимум.

1. На цилиндр действуют сила тяжести, реакция опоры и сила трения. Поскольку цилиндр вернулся в исходное положение, сила трения направлена вверх вдоль наклонной плоскости: цилиндр вращается по часовой стрелке. Сначала цилиндр скользит вниз с ускорением \(a_1 = g\sin\varphi\). На границе с шероховатой поверхностью его скорость \(v_0 = \sqrt{2gh}\). Дальше на шероховатом участке сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu g\cos\varphi\) направлена вверх. При подъёме ускорение \(a_2 = g(\mu\cos\varphi - \sin\varphi)\), и цилиндр останавливается в точке старта (прекращает движение вверх, но может продолжать вращаться). Время движения \[t = \frac{2v_0}{g}\left(\frac{1}{\sin\varphi} + \frac{1}{\mu\cos\varphi - \sin\varphi}\right).\] Минимизируем \(f(\varphi) = \dfrac{1}{\sin\varphi} + \dfrac{1}{\mu\cos\varphi - \sin\varphi}\). Условие минимума \(\dfrac{df}{d\varphi} = 0\) даёт \[\mu\cos^2\varphi = \sin\varphi\left(\frac{1}{\cos\varphi} + \cos\varphi\right), \qquad \sin\varphi_m = \frac{\mu\cos^3\varphi_m}{1+\cos^2\varphi_m} < \mu.\] Так как \(\mu = 0{,}1\), \(\varphi_m \ll 1\), то \(\cos\varphi_m = 1\) и \(\sin\varphi_m = \varphi_m = 0{,}05\). Тогда \(v_0 = \sqrt{2gh} = 1{,}4\) м/с и \(t_{\min} \approx 11{,}3\) с.

2. Запишем уравнения движения и основное уравнение динамики относительно центра цилиндра: \[\begin{cases} m\dfrac{dv}{dt} = \mu mg\cos\varphi - mg\sin\varphi,\\[2mm] mR^2\dfrac{d\omega}{dt} = -\mu mgR\cos\varphi. \end{cases}\] Разделив одно уравнение на другое, получаем \[\frac{dv}{R\,d\omega} = \frac{\mu\cos\varphi - \sin\varphi}{-\mu\cos\varphi} = -\frac{1}{2}\] (при \(\varphi = \varphi_m\), \(\sin\varphi_m = \mu/2\)). Изменение скорости между двумя последовательными прохождениями линии раздела \(\Delta v = 2v_0\). При минимальной возможной угловой скорости проскальзывание прекращается ровно на линии раздела. Отсюда \[\omega_0 = \frac{5v_0}{R} = \frac{5\sqrt{2gh}}{R} \approx 140~\text{с}^{-1}.\]