В пузыре

Видимость ограничена полным внутренним отражением на поверхности планеты. Найдите связь радиуса планеты \(R\) с \(x\) и \(n\), затем запишите первую космическую скорость для орбиты радиуса \(R\).

Наблюдатель видит все направления, если даже объекты у самого горизонта выходят из воды. Угол падения на поверхность планеты \(\gamma\) связан с углом \(\alpha\) теоремой синусов: \(\dfrac{R}{\sin(180^\circ - \alpha)} = \dfrac{x}{\sin\gamma}\). Максимальный угол падения достигается при \(\alpha = 90^\circ\): \(\sin\gamma_{\max} = \dfrac{x}{R}\). Полное внутреннее отражение появляется, когда \(n\sin\gamma_{\max} = 1\), откуда радиус планеты \(R = xn\).

Спутник массой \(m\) на самой низкой орбите радиуса \(R\) движется с первой космической скоростью: \(\dfrac{mv^2}{R} = G\dfrac{mM}{R^2}\), \(v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}\). Подставляя \(M = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\), получаем \[v = xn\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho} \approx 2{,}1~\text{км/с}.\]