Уронили в речку шарик

Запишите уравнения движения по осям отдельно: сила сопротивления линейна по скорости относительно воды. Удобно ввести скорость течения и установившуюся скорость падения.

Ось \(OX\) направим вдоль течения реки, ось \(OY\) — вертикально вниз. Пусть \(w_x\) — скорость течения, а \(w_y = g/k\) — установившаяся скорость падения, где сила сопротивления \(-k\vec u_{\text{отн}}\). Уравнения для проекций скорости шарика \(\vec v\): \[\dot v_x = -k(v_x - w_x), \qquad \dot v_y = g - k(v_y - w_y).\] Для обеих проекций \(v(t) = w + (v_0 - w)e^{-kt}\) (при \(v_{0x} = 0\) и \(v_{0y}\in\{0,\,v\}\)). Введём \(f(t) = \int_0^t (1 - e^{-kt'})\,dt'\). Смещения за время \(t\): \[\Delta x = w_x f(t), \qquad \Delta y = w_y f(t) + \frac{v_{0y}}{k}\bigl(1 - e^{-kt}\bigr).\] Первый шарик (без начальной скорости) падает из \(O\) в \(B\) за время \(t_1\) и проходит глубину \(H\): \(w_y f(t_1) = H\). Второй шарик падает за время \(t_2\) и попадает в \(C\), смещаясь по горизонтали на \(x_1 - L\), а по вертикали — на \(H\). Вычитая уравнения для двух шариков по каждой оси, получаем \[w_x\bigl(f(t_1) - f(t_2)\bigr) = L, \qquad w_y\bigl(f(t_1) - f(t_2)\bigr) = \frac{v}{k}\bigl(1 - e^{-kt_2}\bigr).\] Горизонтальная скорость второго шарика в момент удара \[u_x = w_x\bigl(1 - e^{-kt_2}\bigr) = \frac{kLw_y}{v} = \frac{gL}{v},\] так как \(kw_y = g\).