Столкновения в магнитном поле

Запишите второй закон Ньютона для перемычки через импульс силы Ампера и связь изменения заряда конденсатора с током. Заряд конденсатора пропорционален скорости перемычки.

При движении перемычки в магнитном поле между её сторонами возникает ЭДС \(\varepsilon_i = Blv\), где \(v\) — скорость перемычки. Сила Ампера \(F_A = IBl\) меняет скорость перемычки, а тот же ток заряжает или разряжает конденсатор. По второму закону Ньютона \[m\,\Delta v = I\,\Delta t\,Bl = -\Delta q\,Bl,\] где \(\Delta q\) — изменение заряда конденсатора.

При разгоне перемычки от нулевой скорости до \(v_1\) заряд конденсатора меняется на \(q = CBlv_1\), и \[v_1 = \frac{C(U_0 - Bv_1l)Bl}{m} = \frac{CU_0Bl}{m\left(1 + \dfrac{B^2l^2C}{m}\right)}.\]

Рассмотрим \(n\)-е столкновение со стенкой. Перемычка налетает со скоростью \(v_n\), заряд конденсатора при этом равен \(q_n = CBlv_n\). После столкновения перемычка движется в противоположном направлении с той же скоростью, но знак заряда конденсатора меняется. Изменение скорости при перезарядке \[v_n - v_{n+1} = \frac{(q_n + q_{n+1})Bl}{m} = \frac{(v_n + v_{n+1})B^2l^2C}{m},\] откуда \[v_{n+1} = v_n\,\frac{1 - B^2l^2C/m}{1 + B^2l^2C/m}.\] Здесь \(v_{n+1}\) — скорость перед следующим столкновением, поэтому \[v_n = v_1\left(\frac{1 - B^2l^2C/m}{1 + B^2l^2C/m}\right)^{n-1} = \frac{CU_0Bl}{m}\,\frac{(1 - B^2l^2C/m)^{n-1}}{(1 + B^2l^2C/m)^{n}}.\]