Перемычка с катушкой

Направим ось \(x\) вдоль шин, совместив начало координат с начальным положением перемычки. Пусть \(x\) — координата перемычки, \(v_x\) — проекция скорости на ось \(x\), \(I\) — сила тока через перемычку. По второму закону Ньютона \[m\dfrac{dv_x}{dt} = -BIl;\qquad\text{(1)}\] по закону Ома \[Bv_xl - L\dfrac{dI}{dt} = 0.\qquad\text{(2)}\] Продифференцируем уравнение (1) по времени и подставим в него \(\dfrac{dI}{dt}\) из уравнения (2): \[\dfrac{d^2v_x}{dt^2} + \dfrac{B^2l^2}{mL}\,v_x = 0.\] Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний для \(v_x\) с частотой \(\omega = \sqrt{\dfrac{B^2l^2}{mL}}\).

Скорость перемычки изменяется по закону \(v_x = v_0\cos\omega t\). Перемычка совершает гармонические колебания \(x = \dfrac{v_0}{\omega}\sin\omega t\) с периодом (искомое характерное время) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{mL}{B^2l^2}}\) и амплитудой (максимальное удаление от начального положения) \(A = \dfrac{v_0\sqrt{mL}}{Bl}\).