Колебания трёх шариков

Направим ось \(x\) вдоль линии движения среднего шарика, поместив начало координат в точку его равновесного положения (рис. 176). Если в произвольный момент координата и скорость среднего шарика соответственно равны \(x\) и \(v = \dot x\), то координата и скорость (в проекциях на ось \(x\)) крайних шариков будут \(-x/2\) и \(-v/2\).

Полная энергия системы сохраняется: \[\dfrac{mv^2}{2} + 2\dfrac{m(v/2)^2}{2} + \dfrac{kq^2}{2a\cos\alpha} + 2\dfrac{kq^2}{a} = \text{const}\] или \[\dfrac{3}{4}\,mv^2 + \dfrac{kq^2}{2a\cos\alpha} + 2\dfrac{kq^2}{a} = \text{const}.\] Учитывая, что \(\cos\alpha = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3x}{2a}\right)^2}\) и продифференцировав по времени последнее уравнение, получим \[\ddot x + \dfrac{3kq^2}{4ma^3}\,\dfrac{x}{\sqrt{\left[1 - \left(\dfrac{3x}{2a}\right)^2\right]^3}} = 0.\] Так как \(\dfrac{x}{a} \ll 1\), то получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний \[\ddot x + \dfrac{3kq^2}{4ma^3}\,x = 0.\] Период свободных колебаний системы шариков равен \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{4ma^3}{3kq^2}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{16\pi\varepsilon_0ma^3}{3q^2}}\,.\]