Три заряженные бусинки на нити

Рассмотрим случай, когда заряды располагаются в вершинах треугольника (см. рис. 3.6.1).

Для этого рассмотрим какой-либо заряд, например, \(q_1\). Сумма сил, действующих на этот заряд, равна нулю (заряд неподвижен). Со стороны нити на этот заряд действуют две одинаковые по модулю силы натяжения \(T\), направленные вдоль сторон треугольника \(q_2q_1q_3\). Следовательно, равнодействующая этих сил направлена по биссектрисе угла \(q_2q_1q_3\). Тогда равнодействующая сил электростатического взаимодействия заряда \(q_1\) с зарядами \(q_2\) и \(q_3\) также должна быть направлена по биссектрисе этого угла, но в другую сторону. А поскольку эти силы также направлены вдоль сторон треугольника \(q_2q_1q_3\), то они должны быть равны по модулю между собой и каждая из них должна быть равна \(T\). Обозначим через \(l_1\) расстояние между зарядами \(q_2\) и \(q_3\), через \(l_2\) — расстояние между зарядами \(q_2\) и \(q_1\), и через \(l_3\) — расстояние между зарядами \(q_3\) и \(q_1\). Учитывая сказанное выше, получаем: \[\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0l_2^2} = \dfrac{q_1q_3}{4\pi\varepsilon_0l_3^2},\qquad \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0l_2^2} = \dfrac{q_2q_3}{4\pi\varepsilon_0l_1^2},\qquad(1)\] откуда \(q_1l_1^2 = q_2l_3^2 = q_3l_2^2\). Отсюда, с учётом соотношения \(l_1 + l_2 + l_3 = l\), получаем: \[l_1 = \dfrac{l}{1 + \sqrt{\dfrac{q_1}{q_2}} + \sqrt{\dfrac{q_1}{q_3}}};\quad l_2 = \dfrac{l}{1 + \sqrt{\dfrac{q_3}{q_1}} + \sqrt{\dfrac{q_3}{q_2}}};\quad l_3 = \dfrac{l}{1 + \sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}} + \sqrt{\dfrac{q_2}{q_3}}}.\] Теперь, зная, например, расстояние \(l_1\) между зарядами \(q_2\) и \(q_3\), можно вычислить силу электростатического взаимодействия между ними. Эта сила, как мы уже выяснили, равна силе натяжения нити \(T\): \[T = F_{23} = \dfrac{q_2q_3}{4\pi\varepsilon_0l_1^2} = \dfrac{q_2q_3}{4\pi\varepsilon_0l^2}\left(1 + \sqrt{\dfrac{q_1}{q_2}} + \sqrt{\dfrac{q_1}{q_3}}\right)^2 =\] \[= \dfrac{\left(\sqrt{q_2q_3} + \sqrt{q_1q_3} + \sqrt{q_1q_2}\right)^2}{4\pi\varepsilon_0l^2}.\] Ответ формально получен. Но необходимо учесть, что в процессе решения все алгебраические преобразования были сделаны именно «формально». Мы нигде не учли, что длины сторон треугольника не могут быть произвольными, они обязательно связаны соотношениями («неравенство треугольника»): \[\begin{cases}l_1 + l_2 > l_3;\\ l_1 + l_3 > l_2;\\ l_2 + l_3 > l_1,\end{cases}\quad\text{откуда}\quad\begin{cases}l_1 + l_2 + l_3 > 2l_3;\\ l_1 + l_2 + l_3 > 2l_2;\\ l_1 + l_2 + l_3 > 2l_1,\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}l_1 < l/2;\\ l_2 < l/2;\\ l_3 < l/2.\end{cases}\] Отсюда, с учётом полученных ранее выражений для \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\): \[\begin{cases}1 + \sqrt{q_1/q_2} + \sqrt{q_1/q_3} > 2;\\ 1 + \sqrt{q_3/q_1} + \sqrt{q_3/q_2} > 2;\\ 1 + \sqrt{q_2/q_1} + \sqrt{q_2/q_3} > 2,\end{cases}\quad\text{или}\quad\begin{cases}\sqrt{q_1q_3} + \sqrt{q_1q_2} > \sqrt{q_2q_3};\\ \sqrt{q_1q_3} + \sqrt{q_2q_3} > \sqrt{q_1q_2};\\ \sqrt{q_1q_2} + \sqrt{q_2q_3} > \sqrt{q_1q_3}.\end{cases}\] Эти соотношения также можно переписать в виде: \[\dfrac{1}{\sqrt{q_2}} + \dfrac{1}{\sqrt{q_3}} > \dfrac{1}{\sqrt{q_1}};\quad \dfrac{1}{\sqrt{q_2}} + \dfrac{1}{\sqrt{q_1}} > \dfrac{1}{\sqrt{q_3}};\quad \dfrac{1}{\sqrt{q_3}} + \dfrac{1}{\sqrt{q_1}} > \dfrac{1}{\sqrt{q_2}}.\qquad(2)\] Возникает вопрос: а что же случится, если эти условия окажутся невыполненными, и где допущена «ошибка» в приведённом выше формальном решении?

Немного подумав, можно сообразить, что заряды могут располагаться не только в вершинах треугольника, но и вдоль прямой линии (см. рис. 3.6.2). На первый взгляд такие варианты расположения зарядов кажутся неустойчивыми. Но, оказывается, это не так. В самом деле, хотя бы одно устойчивое положение равновесие у системы должно быть! Но если соотношение между зарядами таково, что система вообще не может существовать в виде треугольника, то остаются только варианты расположения зарядов «в линию», и хотя бы один из этих трёх вариантов обязательно должен быть устойчивым.

«Ошибку» же мы допустили, записывая соотношения (1). Первое из них представляет собой условие равновесия заряда \(q_1\) по двум различным направлениям (\(q_1\)–\(q_2\) и \(q_1\)–\(q_3\)). А если же эти направления совпадают, то (1) не следует из предыдущих рассуждений и может оказаться неверным. Действительно, если не выполнено условие (2), то (1) также не выполняется, и дальнейшие формальные алгебраические преобразования в этом случае приводят к не имеющему физического смысла результату, в чём мы и убедились.

Найдём силу натяжения нити в случае расположения зарядов «в линию». Рассмотрим, например, случай, показанный в верхней части рисунка 3.6.2.

Из условия равновесия заряда \(q_2\) получаем: \[\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x_1^2} = \dfrac{q_2q_3}{4\pi\varepsilon_0x_2^2},\qquad x_1 + x_2 = \dfrac{l}{2},\] где \(x_1\) и \(x_2\) — расстояния между \(q_1\) и \(q_2\) и между \(q_2\) и \(q_3\) соответственно. Решая эту систему, находим: \(x_1 = \dfrac{l}{2}\cdot\dfrac{1}{1 + \sqrt{q_3/q_1}}\). Запишем условие равновесия заряда \(q_1\) (\(T_1\) — сила натяжения нити в рассматриваемом случае): \[2T_1 = \dfrac{q_1q_3}{4\pi\varepsilon_0(l/2)^2} + \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x_1^2}.\] Отсюда, с учётом выражения для \(x_1\), находим силу натяжения нити: \[T = T_1 = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0l^2}\left(q_1q_3 + \left(\sqrt{q_1q_2} + \sqrt{q_2q_3}\right)^2\right).\] Остальные два варианта рассматриваются полностью аналогично.

Для полноты решения осталось рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия в различных вариантах расположения зарядов (в условии задачи это не требуется, участникам олимпиады предлагалось найти только силу натяжения нити).

Прежде всего покажем, что у рассмотренной в задаче системы не может быть двух и более положений устойчивого равновесия.

Данная система имеет две степени свободы. В качестве таких степеней свободы (параметров или «координат» системы) можно выбрать, например, длины отрезков \(l_1\) и \(l_2\) (а \(l_3\) определяется условием \(l_1 + l_2 + l_3 = l\) и поэтому самостоятельной степенью свободы не является).

Если у системы есть более одного положения устойчивого равновесия, то на координатной плоскости \((l_1, l_2)\) «вокруг» каждого из них должна быть своя «область притяжения» (область отклонений от равновесных значений \(l_1\) и \(l_2\), при которых система стремится восстановить эти равновесные значения — свои для каждой области). Понятно, что эти области должны отделяться друг от друга границами, все точки которых соответствуют неустойчивым положениям равновесия, из которых система может «свалиться» в одну из «областей притяжения». Но в нашей системе количество возможных положений равновесия конечно: один «треугольник», если он существует, а также три варианта, показанные на рис. 3.6.2. Поэтому построить из них «границы» (линии на плоскости \((l_1, l_2)\)) не получится.

Значит, у нашей системы имеется ровно одно положение устойчивого равновесия. Очевидно, потенциальная энергия электростатического взаимодействия зарядов в этом положении будет минимальной по сравнению с другими возможными вариантами расположения зарядов в данной системе.

Далее отметим, что если конфигурация «треугольник» (рис. 3.6.1) возможна, то она обязательно является устойчивой. В самом деле, в этом случае все три силы попарного взаимодействия между зарядами равны (как это было выяснено на соответствующем этапе решения задачи). Для того, чтобы из этого «треугольника» получить какое-нибудь другое расположение зарядов, какие-то расстояния между зарядами придётся уменьшить (увеличив энергию системы), а какие-то расстояния между зарядами увеличатся (при этом энергия системы, наоборот, уменьшится). Суммарное изменение расстояний при этом будет нулевым, так как длина нити \(l\) не меняется. Но сила взаимодействия между зарядами убывает с расстоянием. Поэтому при уменьшении расстояния между зарядами увеличение энергии системы будет больше, чем уменьшение энергии в результате увеличения расстояния между другими зарядами. Следовательно, потенциальная энергия системы в равновесном положении «треугольник» минимальна по сравнению с любым другим расположением зарядов, поэтому этот «треугольник» и является положением устойчивого равновесия (если «треугольник» существует, то он является единственным, так как длины его сторон \(l_1\), \(l_2\) и \(l_3\) однозначно определяются из решения).

Если соотношение зарядов \(q_1\), \(q_2\), \(q_3\) таково, что заряды не могут располагаться в вершинах треугольника, то понятно, что возможных положений равновесия всего 3 (рис. 3.6.2); одно из них — устойчивое, а два других — неустойчивые. Устойчивой будет та конфигурация, в которой меньший заряд находится между бо́льшими (две другие комбинации зарядов не обладают минимальной потенциальной энергией — эту энергию можно уменьшить, меняя соответствующие заряды местами).